Задание 15 ЕГЭ по информатике: логические выражения
В пятнадцатом задании ЕГЭ по информатике дано логическое выражение с параметром A: про делимость, отрезки на прямой или поразрядные операции. Нужно найти такое A, при котором выражение истинно для любого x. Удобнее всего перебрать A и x программой.
Для 10–11 классов. Нумерация по проекту демоверсии ФИПИ на 2027 год.
Разбор задач
Делимость
ДЕЛ(n, m) означает, что n делится на m. Найдите наибольшее натуральное A, при котором выражение (ДЕЛ(x, 2) → ¬ДЕЛ(x, 3)) ∨ ДЕЛ(x, A) истинно при любом натуральном x.
Импликация ложна, когда x делится и на 2, и на 3, то есть на 6.
Тогда выражение держится только на ДЕЛ(x, A): каждое кратное 6 должно делиться на A.
Значит, A делитель 6. Наибольший 6.
Ответ: 6
Отрезки
P = [5, 15], Q = [10, 25]. Найдите наименьшую длину отрезка A, при которой выражение ((x ∈ P) ∨ (x ∈ Q)) → (x ∈ A) истинно при любом x.
Импликация требует: везде, где x в P или Q, x в A.
A должен покрывать [5, 25], длина 20.
Ответ: 20
Перебор на Python
def ok(A): for x in range(1, 1000): if not ((not (x % 2 == 0) or not (x % 3 == 0)) or x % A == 0): return False return True print(max(A for A in range(1, 100) if ok(A)))
Импликацию a → b удобно записывать как (not a) or b. Диапазон x берите с запасом, тысячи обычно достаточно.
Для отрезков перебирают x с шагом 0,25 или 0,1, а концы A ищут среди концов P и Q: оптимальный отрезок почти всегда начинается и заканчивается в одной из этих точек.
Проверь себя
- Наибольшее A, при котором ДЕЛ(x, 4) → ДЕЛ(x, A) истинно при любом x? Ответ: 4.
- P = [1, 10]. Наименьшая длина A, при которой (x ∈ P) → (x ∈ A) всегда истинно? Ответ: 9.
Где теряют балл
- Наибольшее и наименьшее. Перечитайте, что спрашивают про A.
- Маленький диапазон x. Если перебрать x только до 20, можно не заметить контрпример.
Как тренироваться
Логические операции в статье логика в информатике. Все номера экзамена в статье ЕГЭ по информатике по номерам.
Разберём на занятии
Готовим к ОГЭ и ЕГЭ на живых занятиях в мини-группе до шести человек или один на один, с пробниками в формате экзамена и разбором каждой ошибки.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Бывают ли задачи с поразрядной конъюнкцией?
Да, с операцией x & A. В Python она записывается так же, &, и решается тем же перебором.
Сколько баллов?
Один первичный балл.