Пять задач, которые решаются в уме
Приёмы устного счёта, которые в школе часто не объясняют. Разберём пять типовых задач: умножение на 25, 50 и 125, квадраты чисел на 5, проценты, умножение на 11 и числа рядом с круглыми. После них примеры вроде 48 × 25 перестают быть страшными.
Для 5–9 классов. Под каждым приёмом примеры для самопроверки с ответами.
1. Умножение на 25, 50 и 125
Сколько будет 48 × 25?
Умножить на 25 то же самое, что умножить на 100 и разделить на 4. 48 × 100 = 4 800, 4 800 : 4 = 1 200.
Почему это работает. 25 это сотня, делённая на 4. Так же 50 это 100 : 2, а 125 это 1 000 : 8.
36 × 50 = 3 600 : 2 = 1 800. 64 × 125 = 64 000 : 8 = 8 000.
Попробуйте сами
24 × 25 = ?
600
68 × 50 = ?
3 400
88 × 125 = ?
11 000
2. Квадраты чисел, оканчивающихся на 5
Сколько будет 65²?
Отбросьте пятёрку, умножьте оставшееся число на следующее за ним и припишите 25. 6 × 7 = 42, ответ 4 225.
Почему это работает. (10a + 5)² = 100a² + 100a + 25 = 100 · a(a + 1) + 25. Последние две цифры всегда 25, а впереди стоит a(a + 1).
35² = 3 × 4 и 25 = 1 225. 95² = 9 × 10 и 25 = 9 025.
Попробуйте сами
45² = ?
2 025
75² = ?
5 625
105² = ?
11 025
3. Проценты в уме за три секунды
Сколько будет 4 % от 75?
Поменяйте числа местами: 4 % от 75 равно 75 % от 4, а это три четверти от 4, то есть 3.
Почему это работает. Процент это сотая часть. 4 % от 75 = 4 × 75 : 100, и 75 % от 4 = 75 × 4 : 100. Множители те же, ответ тот же.
Если удобно, раскладывайте на 10 % и 5 %. 15 % от 60: 10 % это 6, 5 % это половина, 3. Вместе 9.
Попробуйте сами
8 % от 25 = ?
2
12 % от 50 = ?
6
15 % от 80 = ?
12
4. Двузначное число на 11
Сколько будет 72 × 11?
Раздвиньте цифры и поставьте между ними их сумму: 7, 7 + 2 = 9, 2. Ответ 792.
Почему это работает. 72 × 11 = 720 + 72. Десятки и единицы складываются ровно в средний разряд.
Если сумма больше 9, единицу переносим влево: 78 × 11 → 7, 15, 8 → 858.
Попробуйте сами
53 × 11 = ?
583
36 × 11 = ?
396
87 × 11 = ?
957
5. Задачи из контрольных: числа рядом с круглыми
Сколько будет 99 × 37 и 49 × 51?
Округлите и поправьте. 99 × 37 = 100 × 37 − 37 = 3 663. Для пары вокруг круглого числа: 49 × 51 = 50² − 1² = 2 499.
Почему это работает. Первое это распределительный закон, второе формула (a − b)(a + b) = a² − b², которую проходят в 7 классе.
98 × 7 = 700 − 14 = 686. 38 × 42 = 40² − 2² = 1 596.
Попробуйте сами
99 × 24 = ?
2 376
29 × 31 = ?
899
999 × 6 = ?
5 994
Хотите, чтобы ребёнок считал так же быстро?
В AuraLab математику для 4–9 классов ведут онлайн, от трёх занятий в неделю. Приёмы устного счёта разбираем на уроках и закрепляем короткими разминками. Первый урок бесплатный.
Частые вопросы об устном счёте
С какого класса можно учить эти приёмы?
Умножение на 25, 50, 125 и на 11 и проценты через перестановку подходят с 5 класса, как только ребёнок уверенно умножает на 10 и 100 и делит пополам. Квадраты на 5 и формулу разности квадратов удобно объяснять в 7 классе, вместе с алгеброй.
Зачем считать в уме, если есть калькулятор?
На ОГЭ и ЕГЭ по математике калькулятор запрещён. Кроме того, устный счёт помогает заметить ошибку: если в уме прикинуть, что ответ около 1 200, то 12 000 в тетради сразу выглядит подозрительно.
Как закрепить приёмы, чтобы они не забылись?
По пять минут в день на два-три примера каждого вида в течение пары недель. Лучше вслух и на время. Когда приём срабатывает без раздумий, переходите к следующему.