Дилемма заключённого: теория игр для школьников
Теория игр это математика о решениях, которые зависят от решений других людей. Как поступить в групповом проекте, назначить цену или договориться с братом о приставке. Самая знаменитая задача теории игр называется дилеммой заключённого, и в ней логика приводит к результату, который хуже для всех. Разбираем её и ищем выход.
Для 8–11 классов.
Дилемма заключённого
Двоих подозреваемых задержали и допрашивают в разных комнатах. Каждому предлагают: дашь показания на напарника, тебя отпустят. Если оба молчат, у следствия мало улик, и оба получат по году. Если оба дадут показания, оба получат по пять лет. Если один даёт показания, а другой молчит, первый выходит на свободу, второй получает десять лет.
| B молчит | B даёт показания | |
|---|---|---|
| A молчит | по 1 году | A 10 лет, B свободен |
| A даёт показания | A свободен, B 10 лет | по 5 лет |
Задачу придумали американские математики Мерил Флуд и Мелвин Дрешер в 1950 году, а историю про заключённых к ней добавил Альберт Такер.
Что выберет разумный игрок
Задача
Посмотрите на выбор A. Что ему выгоднее, если B молчит? А если B даёт показания?
Если B молчит: молчать значит 1 год, дать показания значит свобода. Выгоднее дать показания.
Если B даёт показания: молчать значит 10 лет, дать показания значит 5. Снова выгоднее дать показания.
Что бы ни сделал B, A выгоднее дать показания. Рассуждая так же, B тоже даст показания.
Ответ: оба дают показания и получают по 5 лет, хотя молча получили бы по году.
Это и есть дилемма. Каждый действует разумно для себя, а вместе они получают плохой результат. Ситуацию, где никому не выгодно менять решение в одиночку, называют равновесием Нэша, в честь математика Джона Нэша, получившего за эти работы Нобелевскую премию по экономике в 1994 году. О нём снят фильм «Игры разума».
Дилемма в жизни
- Групповой проект. Каждому выгодно сделать поменьше и надеяться на других. Если так думают все, проект провален.
- Цены в магазинах. Двум магазинам выгодно держать высокие цены, но каждому хочется немного снизить и переманить покупателей. В итоге цены падают у обоих.
- Экология. Каждой стране выгоднее загрязнять, а остальные пусть сокращают выбросы. Если так поступают все, страдает вся планета.
- Списывание. Каждый думает, что одно списывание ничего не изменит, но когда списывают все, оценки перестают что-то значить.
Турнир Аксельрода
В жизни мы встречаемся с одними и теми же людьми много раз. Что, если сыграть в дилемму не один раз, а двести? В 1980 году американский политолог Роберт Аксельрод устроил турнир: учёные прислали компьютерные программы со стратегиями, и программы играли друг с другом.
Победила самая короткая стратегия, присланная математиком Анатолием Рапопортом: «око за око». Первый ход сотрудничать, а дальше повторять предыдущий ход соперника. Обманули, обманываешь в ответ. Сотрудничали, сотрудничаешь.
- Доброжелательная: никогда не обманывает первой.
- Отвечающая: не даёт себя использовать.
- Прощающая: как только соперник вернулся к сотрудничеству, тоже возвращается.
- Понятная: соперник быстро понимает, что с ней выгодно дружить.
Вывод Аксельрода стал знаменитым: при долгих отношениях сотрудничество выгодно даже эгоистам. Поэтому с соседями по парте, друзьями и одноклассниками честность окупается.
Задача: найдите равновесие
Задача
Два кафе выбирают цену кофе: 150 или 200 рублей. Если оба ставят 200, каждое зарабатывает 10 000 в день. Если оба 150, по 7 000. Если одно 150, а другое 200, дешёвое зарабатывает 12 000, дорогое 4 000. Что выберут кафе?
Если конкурент ставит 200: у меня 10 000 при 200 и 12 000 при 150. Выгоднее 150.
Если конкурент ставит 150: у меня 4 000 при 200 и 7 000 при 150. Выгоднее 150.
Обоим выгодно 150 при любом выборе другого.
Ответ: оба ставят 150 и зарабатывают по 7 000, хотя могли бы по 10 000.
Для покупателей это хорошо: конкуренция снижает цены. Поэтому сговор о ценах между фирмами в большинстве стран запрещён законом.
Камень, ножницы, бумага
Не во всех играх есть один лучший ход. В «Камень, ножницы, бумага» любая чистая стратегия проигрывает: если всегда показывать камень, соперник быстро начнёт показывать бумагу. Лучшее, что можно сделать против умного соперника, выбирать каждый вариант случайно с вероятностью 1/3. Тогда ваш ход невозможно предсказать, и в среднем вы не проиграете.
Такую стратегию называют смешанной. Нэш доказал, что в любой игре с конечным числом вариантов равновесие существует, если разрешить смешанные стратегии. Это и было его знаменитое открытие.
Но люди плохо умеют быть случайными. Исследования показывают, что после проигрыша игроки чаще меняют жест, а после выигрыша повторяют. Внимательный соперник это использует. Попробуйте сыграть 30 раундов с другом и записать ходы: почти наверняка в них найдётся закономерность.
Задача
Вы заметили, что друг после проигрыша почти всегда меняет жест на тот, который побил бы ваш прошлый. Вы выиграли камнем против ножниц. Что он, скорее всего, покажет, и что выбрать вам?
Ваш прошлый жест камень, его бьёт бумага. Друг, вероятно, покажет бумагу.
Бумагу бьют ножницы.
Ответ: показывать ножницы.
Разберём на занятии
На живых занятиях преподаватель объясняет школьные темы через такие истории: так правило или формула запоминается с первого раза.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Можно ли выиграть в любой игре, зная теорию?
Нет. Теория игр помогает понять, какой выбор разумен, но в жизни много случайностей, а люди не всегда действуют разумно. Зато она объясняет, почему договариваться выгодно.
Где учат теорию игр?
В университетах на экономике, математике, политологии, информатике. В школе она близка к обществознанию и экономике, а для олимпиад полезны задачи на выигрышные стратегии.
Теория игр это про компьютерные игры?
Нет, «игрой» здесь называют любую ситуацию, где результат зависит от решений нескольких участников. Но и в компьютерных играх её используют, например при балансировке персонажей.