Лобачевский: геометрия, в которой параллельные ведут себя иначе

Пятый постулат

Около 300 года до нашей эры Евклид собрал геометрию в книгу «Начала». В её основе пять постулатов, утверждений, которые принимают без доказательства. Первые четыре простые и очевидные: через две точки можно провести прямую, все прямые углы равны и так далее.

Пятый выглядел иначе: длинный и не такой очевидный. В школьной форме его обычно записывают так: через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной. Математикам казалось, что это должно следовать из остальных. Две тысячи лет его пытались доказать, и каждый раз в доказательстве находилась ошибка.

Идея Лобачевского

Лобачевский тоже начал с попыток доказать постулат. А потом сделал смелый ход: предположил, что через точку можно провести не одну, а много прямых, не пересекающих данную. Если пятый постулат следует из остальных, такое предположение рано или поздно приведёт к противоречию.

Противоречия не было. Получалась странная, но стройная геометрия со своими теоремами. В ней сумма углов треугольника всегда меньше 180°, и чем больше треугольник, тем меньше сумма. Подобных треугольников разного размера не бывает: если углы равны, равны и стороны.

Отсюда главный вывод: пятый постулат нельзя доказать из остальных. Можно принять его и получить геометрию Евклида, а можно принять противоположное и получить геометрию Лобачевского. Обе логически непротиворечивы.

Как такое представить

Проще начать с поверхности, где сумма углов больше 180°. Это сфера, например глобус. Нарисуйте треугольник: от Северного полюса вниз по нулевому меридиану до экватора, по экватору на четверть окружности и обратно к полюсу. У такого треугольника все три угла прямые, сумма 270°.

Для геометрии Лобачевского нужна поверхность, изогнутая в обратную сторону, как седло или чипсы-пластинки. Треугольник на такой поверхности как бы «втянут» внутрь, и его углы меньше обычных. Итальянец Эудженио Бельтрами в 1868 году построил такую модель, и это окончательно доказало, что геометрия Лобачевского имеет право на жизнь.

Красивую картинку плоскости Лобачевского рисовал голландский художник Мауриц Эшер в серии гравюр «Предел круга»: рыбы, которые уменьшаются к краю круга, на самом деле в этой геометрии одного размера.

Насмешки и признание

В 1829–1830 годах Лобачевский опубликовал работу «О началах геометрии» в журнале «Казанский вестник». Академик Михаил Остроградский дал резко отрицательный отзыв, а журнал «Сын отечества» напечатал издевательскую рецензию. Лобачевский продолжал писать о новой геометрии всю жизнь.

Он был не один. Венгр Янош Бойяи независимо пришёл к тем же идеям и опубликовал их в 1832 году. Великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс, как выяснилось из его писем, думал о том же раньше, но ничего не печатал, опасаясь насмешек. Работы Лобачевского Гаусс высоко ценил и рекомендовал избрать его членом-корреспондентом Гёттингенского научного общества. Это случилось в 1842 году.

Широкое признание пришло уже после смерти Лобачевского в 1856 году. А в начале XX века Альберт Эйнштейн построил общую теорию относительности, в которой пространство вокруг массивных тел искривлено. Мысль о том, что геометрия мира может быть неевклидовой, перестала казаться странной.

Ректор, строитель и библиотекарь

Лобачевский родился 1 декабря 1792 года в Нижнем Новгороде в бедной семье. Учился в Казанской гимназии и Казанском университете и всю жизнь с ним связал. 19 лет, с 1827 по 1846 год, он был ректором. При нём построили главные здания университета, обсерваторию и библиотеку, которой он сам заведовал. Во время эпидемии холеры 1830 года он запер студентов и преподавателей на территории университета, организовал строгую чистоту, и потери оказались намного меньше, чем в городе.

В конце жизни Лобачевский ослеп и продиктовал последнюю книгу, «Пангеометрию», в 1855 году. В Казани ему стоит памятник, а Казанский университет носит его имя в названии одного из институтов.

Задача на сфере

Частые вопросы