Великая теорема Ферма: 358 лет до доказательства
Около 1637 года французский юрист и математик-любитель Пьер Ферма читал древнегреческую книгу по арифметике и на полях оставил запись: уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ не имеет решений в натуральных числах при n больше двух. И добавил, что нашёл этому поистине чудесное доказательство, но поля слишком узки, чтобы его вместить. Так началась одна из самых долгих историй в науке.
Для 7–11 классов.
О чём теорема
Начнём с теоремы Пифагора. У прямоугольного треугольника квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Есть треугольники, у которых все стороны целые: 3, 4 и 5, ведь 9 + 16 = 25. Такие тройки называют пифагоровыми, и их бесконечно много: 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25. Подробнее о них в статье о теореме Пифагора.
3² + 4² = 5²
Ферма задался вопросом: а если вместо квадратов взять кубы? Или четвёртые степени? Найдутся ли целые x, y, z, для которых x³ + y³ = z³? Его ответ: нет, никогда, ни для какой степени больше второй.
xⁿ + yⁿ = zⁿ, n > 2: решений в натуральных числах нет
Формулировку поймёт семиклассник. Можно попробовать на калькуляторе: 6³ + 8³ = 216 + 512 = 728, а 9³ = 729. Почти совпало, но не хватило единицы. Такие «почти решения» встречаются, но точного равенства не бывает.
Первые шаги
Ферма оставил доказательство только для одного случая, n = 4. Он придумал для этого метод бесконечного спуска: если бы решение существовало, из него можно было бы построить решение с меньшими числами, из того ещё меньшее, и так без конца. Но натуральные числа не могут уменьшаться бесконечно, значит, решения нет.
Дальше теорему доказывали по одной степени. Леонард Эйлер в XVIII веке справился с n = 3. В начале XIX века француженка Софи Жермен, которая из-за запретов для женщин сначала переписывалась с математиками под мужским именем, доказала важный общий результат для большого класса простых степеней. Затем пришли n = 5 и n = 7. В середине XIX века Эрнст Куммер разработал теорию, которая закрыла сразу множество степеней, но не все.
С появлением компьютеров теорему проверили для всех степеней до нескольких миллионов. Но проверка не доказательство: числа бесконечны, и где-то дальше контрпример теоретически мог прятаться.
Премия и тысячи ошибочных доказательств
В 1908 году немецкий промышленник Пауль Вольфскель завещал 100 тысяч марок тому, кто докажет теорему. После этого в Гёттингенский университет хлынули письма с «доказательствами» от любителей. Профессорам пришлось печатать бланки: «Уважаемый…, первая ошибка в вашем доказательстве находится на странице…, строка…»
А сам Ферма, скорее всего, ошибался. Математики считают, что его «чудесное доказательство» содержало изъян, который он позже заметил: в письмах он больше не упоминал общий случай, а доказывал отдельные степени.
Эндрю Уайлс
Английский математик Эндрю Уайлс впервые прочитал о теореме в десять лет, в городской библиотеке. Его поразило, что задачу понимает школьник, а доказать не может никто. Он решил, что однажды докажет её.
В 1986 году появился шанс. Математики показали: если верна одна гипотеза о так называемых эллиптических кривых, гипотеза Таниямы–Симуры, то верна и теорема Ферма. Связь неожиданная: из гипотетического решения уравнения Ферма можно построить кривую настолько странную, что она противоречила бы этой гипотезе.
Уайлс семь лет работал над гипотезой почти в одиночку, никому не рассказывая, чтобы не отвлекаться на внимание. В июне 1993 года на конференции в Кембридже он три дня читал лекции и в конце написал на доске теорему Ферма как следствие. Зал аплодировал, новость попала на первые полосы газет.
А потом при проверке нашли ошибку. Больше года Уайлс пытался её исправить и уже готов был сдаться. В сентябре 1994 года вместе со своим бывшим учеником Ричардом Тейлором он нашёл обходной путь. Позже Уайлс вспоминал, что это был самый важный момент его профессиональной жизни. Полное доказательство заняло больше ста страниц и опубликовано в 1995 году.
Чему учит эта история
- Проверка на примерах не доказательство. Даже миллион совпадений не гарантирует, что следующий случай не окажется исключением.
- Неожиданные связи. Теорему о целых числах доказали через геометрию кривых, хотя на первый взгляд это разные разделы математики.
- Ошибаться нормально. Уайлс нашёл ошибку в своей главной работе, не сдался и исправил её.
- Детский вопрос может стать делом жизни. Уайлс заинтересовался теоремой в десять лет и доказал её в сорок один.
В 2016 году Уайлс получил Абелевскую премию, одну из главных наград в математике.
Задача на разминку
Задача
Докажите, что у уравнения x² + y² = z² есть бесконечно много решений в натуральных числах.
Возьмём известную тройку 3, 4, 5 и умножим все числа на одно и то же k.
(3k)² + (4k)² = 9k² + 16k² = 25k² = (5k)².
При k = 1, 2, 3, … получаем 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15 и так далее без конца.
Ответ: решений бесконечно много, например (3k, 4k, 5k).
А вот похожий приём для кубов не сработает: нет первой тройки, которую можно было бы умножать. В этом и состоит теорема Ферма.
Разберём на занятии
На живых занятиях преподаватель объясняет школьные темы через такие истории: так правило или формула запоминается с первого раза.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Вручили ли премию Вольфскеля?
Да, в 1997 году её получил Уайлс. Из-за инфляции после двух мировых войн сумма сильно уменьшилась, но всё равно составила около 50 тысяч долларов.
Можно ли доказать теорему проще, школьными методами?
Такого доказательства никто не нашёл. Многие любители до сих пор пытаются, но все известные «простые доказательства» содержат ошибки.