Теорема Пифагора: доказательство, тройки и задачи
Теорема Пифагора связывает стороны прямоугольного треугольника и встречается почти в каждой геометрической задаче: от расстояния на клетчатой бумаге до стереометрии в ЕГЭ. Разбираем, почему она верна, какие тройки чисел стоит знать наизусть и как теорему применяют.
Для учеников 8–11 классов.
Формулировка
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Гипотенуза лежит напротив прямого угла и всегда длиннее каждого из катетов.
c² = a² + b²
Из формулы выражаются и катеты: a² = c² − b². Если известны катет 12 и гипотенуза 13, второй катет равен √(169 − 144) = √25 = 5.
Доказательство на одном рисунке
Возьмём квадрат со стороной a + b и разложим внутри четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами a и b так, чтобы их гипотенузы образовали внутренний квадрат со стороной c.
Площадь большого квадрата можно посчитать двумя способами. С одной стороны, это (a + b)². С другой, это внутренний квадрат плюс четыре треугольника: c² + 4 · ab/2.
(a + b)² = c² + 2ab → a² + 2ab + b² = c² + 2ab → a² + b² = c²
Доказательств теоремы известны сотни, это одно из самых коротких. Его полезно один раз нарисовать самому: так теорема запоминается не как формула, а как картинка.
Пифагоровы тройки
Некоторые тройки целых чисел подходят под теорему. Если их знать, многие задачи решаются без вычислений.
| Тройка | Проверка |
|---|---|
| 3, 4, 5 | 9 + 16 = 25 |
| 5, 12, 13 | 25 + 144 = 169 |
| 8, 15, 17 | 64 + 225 = 289 |
| 7, 24, 25 | 49 + 576 = 625 |
| 20, 21, 29 | 400 + 441 = 841 |
Тройки можно умножать: 6, 8, 10 и 9, 12, 15 тоже подходят, это увеличенный египетский треугольник. Если в задаче катеты 30 и 40, гипотенуза сразу 50.
Обратная теорема
Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный. Говорят, что ещё древние строители размечали прямой угол верёвкой с двенадцатью равными отрезками: натягивали её треугольником со сторонами 3, 4 и 5.
Обратная теорема помогает проверить, прямоугольный ли треугольник. Стороны 6, 7 и 9: 36 + 49 = 85, а 81 ≠ 85, значит, нет.
Задачи
Задача
Лестницу длиной 5 м приставили к стене. Нижний конец стоит в 3 м от стены. На какой высоте верхний конец?
Стена, пол и лестница образуют прямоугольный треугольник, лестница в нём гипотенуза.
h² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16, h = 4 м.
Ответ: 4 м.
Задача
Экран имеет размеры 48 × 36 см. Найдите его диагональ.
48 = 4 · 12, 36 = 3 · 12. Это египетский треугольник, увеличенный в 12 раз.
Диагональ 5 · 12 = 60 см. Проверка: 48² + 36² = 2 304 + 1 296 = 3 600 = 60².
Ответ: 60 см.
На клетчатой бумаге теорема даёт расстояние между точками: отрезок, который идёт на 3 клетки вправо и на 4 вверх, имеет длину 5 клеток. О площадях на клетках читайте статью о формуле Пика.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Работает ли теорема для непрямоугольных треугольников?
Нет. Для любого треугольника есть теорема косинусов: c² = a² + b² − 2ab · cos C. Когда угол C прямой, косинус равен нулю, и получается теорема Пифагора.
Как не перепутать гипотенузу и катет?
Гипотенуза всегда напротив прямого угла и всегда самая длинная. Если при вычислении катет вышел длиннее гипотенузы, где-то сложили вместо того, чтобы вычесть.