Задание 14 ЕГЭ по информатике: системы счисления
Четырнадцатое задание ЕГЭ по информатике про позиционные системы счисления. Классический вариант: значение выражения со степенями записали в двоичной или другой системе, нужно посчитать цифры определённого вида. Есть приём, который решает такие задачи вручную, но на Python это две строки.
Для 10–11 классов. Нумерация по проекту демоверсии ФИПИ на 2027 год.
Приём со степенями
- 2ᵏ в двоичной записи: единица и k нулей.
- 2ᵏ − 1: k единиц.
- 2ᵏ − 2ᵐ при k > m: k − m единиц, за ними m нулей.
Разбор задач
Единицы в записи
Значение выражения 4¹⁵ + 2¹⁰ − 16 записали в двоичной системе. Сколько в нём единиц?
4¹⁵ = 2³⁰, 16 = 2⁴.
2¹⁰ − 2⁴ даёт 6 единиц. Плюс 2³⁰ даёт ещё одну, она не пересекается с остальными.
Всего 7.
Ответ: 7
Неизвестное основание
В системе счисления с основанием p число 15 записывается как 21. Найдите p.
2p + 1 = 15.
p = 7. Цифра 2 меньше 7, запись допустима.
Ответ: 7
Нули
Сколько нулей в двоичной записи числа 2¹⁰?
Единица и десять нулей.
Ответ: 10
Решение на Python
x = pow(4, 15) + pow(2, 10) - 16 print(bin(x).count('1'))
Для других систем пишем перевод сами: берём остатки от деления на основание, пока число не станет нулём.
def digits(n, b): r = [] while n > 0: r.append(n % b) n //= b return r print(digits(pow(9, 5) - 1, 3).count(2))
Проверь себя
- Сколько единиц в двоичной записи 2⁸ − 1? Ответ: 8.
- Сколько единиц в 2²⁰ + 2⁵? Ответ: 2.
- Как записать 255 в шестнадцатеричной системе? Ответ: FF.
Где теряют балл
- Пересекающиеся разряды. Приём работает, только если слагаемые не налезают друг на друга.
- Цифра больше основания. В системе с основанием p все цифры меньше p.
Как тренироваться
Теория с переводом в любую систему в статье системы счисления. Все номера экзамена в статье ЕГЭ по информатике по номерам.
Разберём на занятии
Готовим к ОГЭ и ЕГЭ на живых занятиях в мини-группе до шести человек или один на один, с пробниками в формате экзамена и разбором каждой ошибки.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Бывают ли задачи с неизвестной цифрой x?
Да: например, «число 1x3 в системе 11 делится на 7». Перебирайте x в цикле и проверяйте условие.
Сколько баллов?
Один первичный балл.