Вариант ЕГЭ профиль, часть 1

В четырёхугольник $ABCD$, периметр которого равен $22$, вписана окружность, $AB = 8$. Найдите длину стороны $CD$.

Даны векторы $\vec a\,(2;\,2)$ и $\vec b\,(2;\,-2)$. Найдите длину вектора $7\vec a - \vec b$.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы равна $18$. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.

В сборнике билетов по химии всего $80$ билетов, в $56$ из них встречается вопрос по теме «Углеводороды». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме «Углеводороды».

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна $0{,}9$. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в две первые мишени и не попадёт в две последние.

Организаторы лотереи выпустили $10\,000$ билетов. Выигрыши распределены следующим образом.

$$\begin{array}{|c|c|}\hline \text{Выигрыш (в рублях)} & \text{Число выигрышных билетов} \\ \hline 100 & 500 \\ 1000 & 100 \\ 5000 & 50 \\ 10\,000 & 10 \\ 50\,000 & 1 \\ \hline \end{array}$$

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.

Найдите корень уравнения $4^{x-4} = 64$.

Найдите значение выражения $\dfrac{3\sin 164^\circ}{\sin 82^\circ \cdot \sin 8^\circ}$.

На рисунке изображён график $y = f'(x)$ производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-5;\,6)$. Найдите количество точек минимума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-3;\,5]$.

Автомобиль, движущийся со скоростью $v_0 = 15$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a = 2$ м/с². За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь $S = v_0 t - \dfrac{at^2}{2}$ (м). Определите время, прошедшее с момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал $36$ метров. Ответ дайте в секундах.

Два велосипедиста одновременно отправились в $90$-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на $5$ км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на $3$ часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображён график функции вида $f(x) = \dfrac{k}{x}$. Найдите значение $f(10)$.

В июле 2030 года планируется взять кредит $182\,000$ рублей в банке на три года. Условия его возврата таковы:
– каждый январь долг увеличивается на $20$ % по сравнению с концом предыдущего года;
– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей составит общая сумма платежей после полного погашения кредита, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами?