Эварист Галуа: теория, записанная в ночь перед дуэлью

Задача, над которой бились триста лет

В школе решают квадратные уравнения по формуле с дискриминантом. Для уравнения ax² + bx + c = 0 корни выражаются через коэффициенты с помощью сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня:

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

В XVI веке итальянские математики нашли похожие, только гораздо более громоздкие формулы для уравнений третьей и четвёртой степени. Их связывают с именами дель Ферро, Тартальи, Кардано и Феррари. Дальше все ждали формулу для пятой степени. Её искали почти триста лет и не нашли.

В 1820-х годах норвежец Нильс Абель доказал, что общей формулы для уравнений пятой степени не существует. Но оставался вопрос: какие именно уравнения решаются в корнях, а какие нет? Ответ на него дал Галуа.

Короткая жизнь

Эварист Галуа родился 25 октября 1811 года в городке Бур-ла-Рен под Парижем. До 12 лет его учила мать, потом он поступил в парижский лицей. Учителя жаловались: мальчик способный, но странный, на уроках витает в облаках. В 15 лет он открыл для себя математику и за короткое время прочитал труды Лежандра и Лагранжа, рассчитанные на взрослых учёных.

Мечтой Галуа была Политехническая школа, лучший технический вуз Франции. Он поступал дважды и оба раза провалился на устном экзамене. По одной из историй, на втором экзамене он так разозлился на вопросы экзаменатора, что бросил в него тряпку для доски. Пришлось идти в Подготовительную школу, будущую Высшую нормальную, но и оттуда его исключили за политическую статью.

Галуа был пылким республиканцем, дважды попадал под арест и несколько месяцев провёл в тюрьме Сент-Пелажи. Работы, которые он посылал в Академию наук, преследовали неудачи: первую Огюстен Коши так и не представил Академии, вторую взял домой Жозеф Фурье и умер, рукопись не нашли, третью Симеон Пуассон вернул с отзывом, что она непонятна.

Ночь перед дуэлью

Причины дуэли до сих пор не ясны: историки спорят, была ли это ссора из-за девушки или политическая провокация. Известно, что в ночь на 30 мая 1832 года Галуа писал несколько писем. Самое важное адресовано другу Огюсту Шевалье: в нём на нескольких страницах изложены главные идеи его работ и просьба показать их лучшим математикам.

Утром его тяжело ранили, на следующий день, 31 мая, он умер в больнице. Брату он будто бы сказал: «Не плачь, мне нужно всё моё мужество, чтобы умереть в двадцать лет».

Шевалье выполнил просьбу, но признание пришло нескоро. Только в 1846 году математик Жозеф Лиувилль разобрался в рукописях и опубликовал их. Тогда стало ясно, что Галуа на десятилетия опередил своё время.

Что придумал Галуа: группы

Галуа догадался смотреть не на сами корни уравнения, а на то, как их можно переставлять, не нарушая связей между ними. Набор таких перестановок он назвал группой. Оказалось, что уравнение решается в корнях тогда и только тогда, когда его группа устроена определённым, «разрешимым» образом. У общего уравнения пятой степени группа не такая, поэтому формулы нет.

Группа на кубике Рубика

Идею группы проще всего почувствовать на кубике Рубика. Повороты граней можно выполнять друг за другом, любой поворот можно отменить, а результат двух поворотов снова поворот. Всё это вместе и есть группа. Теория групп объясняет, почему некоторые положения кубика собрать невозможно, если его разобрать и собрать заново как попало.

Сегодня группы работают далеко за пределами уравнений. Ими описывают симметрии кристаллов в химии, элементарные частицы в физике, коды, исправляющие ошибки при передаче данных, и шифры.

Попробуйте сами

Частые вопросы