GeoGebra: геометрия и графики своими руками
GeoGebra бесплатная программа для математики, которую придумал австрийский математик Маркус Хохенвартер в начале 2000-х годов. Она работает в браузере, на компьютере и на телефоне. В ней можно строить чертежи, графики и объёмные фигуры, а главное двигать их и смотреть, что меняется, а что нет. Разбираем, как использовать её в школе.
Для 7–11 классов.
Что умеет
- Геометрия: точки, отрезки, окружности, перпендикуляры, биссектрисы, измерение углов и длин.
- Графики: любые функции, точки пересечения, касательные, ползунки для параметров.
- 3D: кубы, пирамиды, сечения, тела вращения.
- Калькулятор: решение уравнений, вычисления, таблицы.
Есть несколько приложений: «Геометрия», «Графический калькулятор», «3D-калькулятор» и общий «Калькулятор GeoGebra». Интерфейс переведён на русский.
Упражнения по геометрии
Задача
Проверьте, что сумма углов треугольника всегда 180°.
Инструментом «Многоугольник» постройте треугольник ABC.
Инструментом «Угол» измерьте три угла.
В строке ввода напишите α + β + γ: появится сумма.
Двигайте вершины мышкой и смотрите, меняется ли сумма.
Ответ: углы меняются, а сумма остаётся 180°. Это наглядная проверка, а не доказательство, но после неё доказательство понять легче.
Задача
Убедитесь, что вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу.
Постройте окружность с центром O и отметьте на ней точки A, B, C.
Измерьте угол ACB (вписанный) и угол AOB (центральный).
Двигайте точку C по окружности.
Ответ: вписанный угол не меняется, пока C на той же дуге, и всегда равен половине центрального.
Похожие задачи из ОГЭ разобраны в статье про геометрию на ОГЭ.
Графики и ползунки
Самая полезная функция для алгебры: ползунки. Напишите в строке ввода y = k·x + b. Программа предложит создать ползунки для k и b. Двигайте их и смотрите, как прямая поворачивается и сдвигается.
- y = a·x² + b·x + c: как a меняет ширину и направление ветвей параболы.
- y = k / x: как гипербола переходит из одних четвертей в другие.
- y = sin(x) и y = a·sin(b·x): как меняются высота и частота волны.
Как понимать коэффициенты k и b без программы, разобрано в статье про линейную функцию.
Стереометрия в 3D
В 3D-калькуляторе можно построить куб или пирамиду, провести сечение плоскостью и повернуть фигуру мышкой. Для задач ЕГЭ на сечения и углы это огромная помощь: трудно представить сечение на бумаге, а здесь его видно со всех сторон.
Когда GeoGebra не поможет
На контрольной и экзамене GeoGebra нет. Программа помогает понять и проверить, но рисовать от руки и рассуждать всё равно нужно уметь самому. Хороший порядок: сначала решить задачу на бумаге, потом проверить в GeoGebra.
Разберём на занятии
Занимаемся по всем школьным предметам с 4 по 11 класс: живые занятия, общая доска и домашка, которую проверяет тот же преподаватель.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Нужно ли регистрироваться?
Нет, строить можно сразу. Регистрация нужна, только если хочешь сохранять свои чертежи в облаке.
Есть ли GeoGebra на телефоне?
Да, есть приложения для Android и iPhone, они тоже бесплатные.
Чем GeoGebra отличается от Desmos?
Desmos проще и быстрее для графиков, GeoGebra сильнее в геометрии и 3D. Подробнее о Desmos в отдельной статье.