Линейная функция и её график: что значат k и b
Линейная функция появляется в 7 классе и дальше встречается везде: в физике, в задачах про тарифы, на ОГЭ в заданиях с графиками. Объясняем, что показывают числа k и b, как построить прямую за минуту и как найти формулу по графику.
Для учеников 7–9 классов.
Что показывают k и b
- k это наклон. Если k > 0, прямая идёт вверх слева направо, если k < 0, вниз. Чем больше |k|, тем круче. При k = 0 прямая горизонтальная.
- b это точка, где прямая пересекает ось y: при x = 0 получается y = b.
k показывает, на сколько изменяется y, когда x увеличивается на единицу. У y = 2x + 1 каждый шаг вправо поднимает прямую на 2.
Как построить график
Прямую задают две точки. Удобнее всего взять x = 0 (получим y = b) и ещё одно значение, например x = 2. Для y = 2x + 1 это точки (0; 1) и (2; 5). Отмечаем, проводим прямую через обе.
Формула по двум точкам
Задача
Прямая проходит через точки (1; 3) и (3; 7). Найдите её уравнение.
k = (7 − 3) / (3 − 1) = 2: на два шага вправо подъём на четыре.
Подставляем первую точку в y = 2x + b: 3 = 2 + b, b = 1.
Проверка второй точкой: 2 · 3 + 1 = 7.
Ответ: y = 2x + 1.
Параллельные прямые и точка пересечения
Прямые с одинаковым k параллельны: y = 2x + 1 и y = 2x − 3 никогда не встретятся. Если k разные, прямые пересекаются, и точку пересечения находят, приравняв правые части.
Задача
Найдите точку пересечения прямых y = 2x + 1 и y = −x + 7.
2x + 1 = −x + 7, 3x = 6, x = 2.
y = 2 · 2 + 1 = 5.
Ответ: (2; 5).
Задача про тарифы такси
Многие житейские зависимости линейные: фиксированная плата плюс оплата за каждую единицу.
Задача
Тариф А: посадка 150 ₽ и 30 ₽ за километр. Тариф Б: посадка 50 ₽ и 40 ₽ за километр. При какой длине поездки тарифы стоят одинаково и какой выгоднее для поездки на 20 км?
Стоимость по тарифам: A = 30x + 150, Б = 40x + 50.
Равны, когда 30x + 150 = 40x + 50, то есть x = 10 км.
На 20 км: А = 750 ₽, Б = 850 ₽. Для длинных поездок выгоднее А, для коротких Б.
Ответ: одинаково при 10 км; на 20 км выгоднее тариф А.
На графике это две прямые: у Б больше наклон, но ниже старт. До точки пересечения ниже прямая Б, после неё прямая А.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Как по графику понять знак b?
Посмотреть, где прямая пересекает ось y: выше нуля, значит b > 0, ниже, значит b < 0, через начало координат, значит b = 0.
Чем линейная функция отличается от прямой пропорциональности?
Прямая пропорциональность y = kx это частный случай линейной функции с b = 0. Её график всегда проходит через начало координат.