Георг Кантор: почему одна бесконечность больше другой
Что больше: количество натуральных чисел или количество точек на отрезке? Кажется, что вопрос бессмысленный: и там, и там бесконечность. Георг Кантор в 1870-х годах показал, что бесконечности бывают разных размеров, и придумал, как их сравнивать. Его теория множеств стала фундаментом всей современной математики, а самому учёному пришлось выдержать годы насмешек.
Для 7–11 классов.
Математик из Петербурга
Георг Кантор родился 3 марта 1845 года в Санкт-Петербурге в семье купца. Когда мальчику было 11 лет, семья переехала в Германию из-за болезни отца. Георг хорошо играл на скрипке и рисовал, но выбрал математику: учился в Цюрихе и Берлине, а с 1869 года преподавал в университете города Галле.
Как сравнивать бесконечности
Как понять, что в двух корзинах одинаковое число яблок, если не умеешь считать? Можно доставать по яблоку из каждой корзины одновременно. Если яблоки кончились в обеих сразу, их поровну. Кантор предложил так же сравнивать бесконечные множества: если элементы можно разбить на пары без остатка, множества равны по размеру.
Чётных столько же, сколько всех
Поставим каждому натуральному числу n в пару число 2n:
1 ↔ 2, 2 ↔ 4, 3 ↔ 6, 4 ↔ 8, …
Каждое натуральное число получило пару, каждое чётное тоже. Значит, чётных чисел столько же, сколько всех натуральных, хотя чётные только их половина. Для бесконечности правило «часть меньше целого» не работает. Это та же идея, что в отеле Гильберта.
Множества, которые можно пронумеровать, Кантор назвал счётными. Счётны целые числа, счётны даже все дроби: их можно выстроить в таблицу и обходить змейкой, не пропуская ни одной.
Диагональный аргумент
А можно ли пронумеровать все числа на отрезке от 0 до 1, то есть все бесконечные десятичные дроби? Кантор доказал, что нельзя. Предположим, кто-то составил полный список:
1) 0,51472…
2) 0,33333…
3) 0,14159…
4) 0,90026…
Построим новое число. Первую цифру после запятой возьмём любую, кроме первой цифры первого числа, вторую любую, кроме второй цифры второго числа, и так далее по диагонали. Например, будем прибавлять к каждой такой цифре 1, а девятку менять на ноль. Из 5, 3, 1, 2 получится 0,6423…
Это число отличается от первого в первой цифре, от второго во второй, от любого n-го в n-й. Значит, его нет в списке, и список не полон. Сколько ни старайся, всегда найдётся пропущенное число. Точек на отрезке больше, чем натуральных чисел.
Кантор опубликовал этот аргумент в 1891 году. Похожая идея, взгляд «по диагонали», потом помогла Гёделю и Тьюрингу доказать их знаменитые теоремы.
Насмешки и признание
Многие современники встретили идеи Кантора в штыки. Особенно резко выступал влиятельный берлинский математик Леопольд Кронекер, который считал, что в математике существуют только целые числа, а всё остальное придумано людьми. Ему приписывают слова о Канторе как о «развратителе молодёжи». Кронекер мешал Кантору публиковаться и получить место в Берлине.
Кантор тяжело переживал травлю и всю жизнь страдал от депрессии, несколько раз лежал в клиниках. Но к концу XIX века его теорию признали. В 1904 году Лондонское королевское общество наградило его медалью. Давид Гильберт в 1926 году сказал: «Никто не изгонит нас из рая, который создал для нас Кантор».
Георг Кантор умер 6 января 1918 года в клинике в Галле, во время Первой мировой войны, в бедности.
Вопрос, на который нет ответа
Кантор предположил: между размером натуральных чисел и размером точек отрезка нет промежуточной бесконечности. Это континуум-гипотеза, первая в списке Гильберта 1900 года. Кантор пытался её доказать до конца жизни.
Ответ оказался неожиданным. Курт Гёдель в 1940 году и Пол Коэн в 1963 году показали, что в обычных аксиомах математики её нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Можно принять её верной, а можно ложной, и обе математики будут без противоречий. Подробнее в статье про Гёделя.
Попробуйте сами
Задача
Докажите, что всех целых чисел (…, −2, −1, 0, 1, 2, …) столько же, сколько натуральных.
Выстроим целые числа в одну очередь: 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, …
Поставим им номера 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …
Каждое целое число получит свой номер, ни одно не пропущено.
Ответ: целые числа можно пронумеровать, значит, их столько же, сколько натуральных.
Разберём на занятии
На живых занятиях преподаватель объясняет школьные темы через такие истории: так правило или формула запоминается с первого раза.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Бесконечность это число?
В школьной математике нет. Но Кантор показал, что размеры бесконечных множеств можно сравнивать, как числа, и даже складывать. Их называют кардинальными числами.
Есть ли самая большая бесконечность?
Нет. Кантор доказал, что для любого множества множество всех его подмножеств больше. Значит, за каждой бесконечностью есть ещё большая.
Почему Кантор родился в России, а считается немецким математиком?
Он уехал в Германию в 11 лет и всю научную жизнь провёл там. Но Петербург помнит своего уроженца.