Давид Гильберт и 23 проблемы на целый век
8 августа 1900 года на Международном конгрессе математиков в Париже 38-летний профессор из Гёттингена Давид Гильберт прочитал доклад «Математические проблемы». Он предложил список задач, решение которых, по его мнению, сильнее всего продвинет науку в новом веке. Список оказался пророческим: почти все проблемы стали центрами огромных разделов математики.
Для 8–11 классов.
Кто такой Гильберт
Давид Гильберт родился 23 января 1862 года в Кёнигсберге, нынешнем Калининграде, и учился в местном университете. С 1895 года и до конца жизни работал в Гёттингене, который при нём стал мировой столицей математики. Туда ехали учиться со всего света, в том числе из России.
Гильберт работал почти во всех разделах математики: алгебре, геометрии, теории чисел, математической физике. Он заново построил систему аксиом для геометрии Евклида, без пробелов, которые накопились за две тысячи лет. Его характер был под стать: прямой, весёлый и требовательный. Он дружил со студентами и защищал коллег, например помог Эмми Нётер получить право преподавать.
Доклад в Париже
Гильберт начал доклад словами о том, что пока в науке есть нерешённые проблемы, она жива. Он предложил 23 задачи, но в устном выступлении из-за нехватки времени назвал десять. Полный список вышел в печати позже.
Проблемы очень разные. Одни точно сформулированы и требуют ответа «да» или «нет», другие скорее направления исследований. Поэтому сосчитать, сколько решено, непросто: специалисты спорят, можно ли вообще «решить» некоторые из них.
Самые известные проблемы и их судьба
| № | Суть | Судьба |
|---|---|---|
| 1 | континуум-гипотеза Кантора о размерах бесконечностей | Гёдель (1940) и Коэн (1963): нельзя ни доказать, ни опровергнуть в обычных аксиомах |
| 2 | доказать непротиворечивость арифметики | Гёдель в 1931 году показал, что средствами самой арифметики это невозможно |
| 3 | можно ли разрезать равные по объёму многогранники друг в друга | решена первой, в том же 1900 году учеником Гильберта Максом Деном: нет |
| 7 | трансцендентность чисел вроде 2^√2 | решена в 1934 году советским математиком Александром Гельфондом и независимо Теодором Шнайдером |
| 8 | гипотеза Римана о простых числах | не решена, входит и в список задач тысячелетия |
| 10 | алгоритм для решения любых уравнений в целых числах | решена в 1970 году Юрием Матиясевичем: такого алгоритма не существует |
| 13 | можно ли выразить функции многих переменных через функции двух | в 1957 году Андрей Колмогоров и его 19-летний студент Владимир Арнольд показали, что можно |
| 18 | плотнейшая упаковка шаров | в трёхмерном случае доказана Томасом Хейлсом в 1998 году с компьютером |
Подробнее о Гёделе и о том, почему в математике нельзя доказать всё, читайте в статье про теорему о неполноте.
Проблема, которую решил 22-летний
Десятая проблема звучит понятно даже школьнику. Есть уравнения с целыми коэффициентами, например x² + y² = z² или x³ + y³ = 1729. Нужно найти единый способ, алгоритм, который для любого такого уравнения скажет, есть ли у него решение в целых числах.
Над ней десятилетиями работали американские математики Мартин Дэвис, Хилари Патнэм и Джулия Робинсон. Последний недостающий шаг сделал в 1970 году ленинградец Юрий Матиясевич, которому было 22 года. Вместе с их работами это доказало: такого алгоритма нет и быть не может. Любопытно, что ответ «нельзя» стал возможен только после того, как Тьюринг и другие строго определили, что такое алгоритм.
Отель Гильберта
Гильберт придумал знаменитый пример, который объясняет свойства бесконечности. В отеле бесконечно много номеров, и все заняты. Приезжает новый гость. Можно ли его поселить?
Можно. Каждого постояльца попросим переехать в номер на единицу больше: из 1 во 2, из 2 в 3 и так далее. Номер 1 освободился. А если приедет бесконечный автобус с гостями? Попросим каждого переехать в номер с вдвое большим номером: 1 в 2, 2 в 4, 3 в 6. Все нечётные номера освободятся, а их бесконечно много.
Пример показывает, что с бесконечностями обычные правила вроде «часть меньше целого» не работают. Об этом подробно в статье про Георга Кантора.
«Мы должны знать»
В 1930 году, выходя на пенсию, Гильберт произнёс в Кёнигсберге речь, которую записали на радио. Он закончил её словами: «Мы должны знать, мы будем знать». Это был ответ тем, кто считал, что некоторые вопросы в науке навсегда останутся без ответа.
Последние годы Гильберта были грустными: после 1933 года нацисты изгнали из Гёттингена многих его учеников и коллег. Он умер 14 февраля 1943 года. Его девиз выбит на надгробии в Гёттингене.
Разберём на занятии
На живых занятиях преподаватель объясняет школьные темы через такие истории: так правило или формула запоминается с первого раза.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Сколько проблем Гильберта решено?
Точно ответить нельзя: некоторые сформулированы расплывчато. Обычно говорят, что полностью решены около половины, часть решена частично, а гипотеза Римана и ещё несколько открыты.
Есть ли у Гильберта задачи, понятные школьнику?
Да: третья (разрезание многогранников), десятая (уравнения в целых числах), восемнадцатая (упаковка шаров). Их условия можно объяснить без высшей математики.
Был ли Гильберт связан с Россией?
Он родился в Кёнигсберге, нынешнем Калининграде. Многие советские математики учились у него или решили его проблемы: Гельфонд, Колмогоров, Арнольд, Матиясевич.