Парадокс дней рождения: 23 человека и 50 %
Сколько человек должно быть в комнате, чтобы с вероятностью больше половины у кого-то двоих совпал день рождения? Многие говорят «около 180», ведь в году 365 дней. Правильный ответ: всего 23. Проверьте на своём классе.
Для учеников 8–11 классов.
Почему интуиция ошибается
Мы невольно думаем о вопросе «совпадёт ли кто-то со мной». Но речь о любой паре. В группе из 23 человек пар целых 253, и каждая может совпасть.
23 · 22 / 2 = 253 пары
А шанс, что кто-то из 22 других совпадёт именно с вами, действительно маленький: около 6 %.
Считаем
Удобнее посчитать вероятность противоположного события: у всех дни рождения разные. Високосный год и неравномерность рождений по месяцам не учитываем.
Задача
Найдите вероятность того, что у 23 человек все дни рождения разные.
Первый человек может родиться в любой день: 365/365.
Второй должен не совпасть с первым: 364/365.
Третий не совпасть с двумя: 363/365, и так далее.
Двадцать третий: 343/365.
Перемножаем: 365/365 · 364/365 · … · 343/365 ≈ 0,493.
Ответ: ≈ 0,493. Значит, вероятность хотя бы одного совпадения 1 − 0,493 ≈ 0,507, то есть больше 50 %.
| Человек в группе | Шанс совпадения |
|---|---|
| 10 | 12 % |
| 23 | 51 % |
| 30 | 71 % |
| 40 | 89 % |
| 50 | 97 % |
| 70 | 99,9 % |
Где это используют
Парадокс важен в информатике. Пароли и файлы хранят в виде коротких «отпечатков», хешей. Если отпечатков мало, по парадоксу дней рождения два разных файла получат одинаковый отпечаток гораздо раньше, чем кажется. Поэтому хеши делают очень длинными: так совпадение становится практически невозможным.
Проверьте в классе
В классе из 25–30 человек совпадение найдётся в большинстве случаев. Можно устроить проверку на уроке или посмотреть составы команд на чемпионате мира по футболу 2014 года: в каждой было по 23 игрока, и примерно в половине команд есть два игрока с общим днём рождения.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.