Как маленький Гаусс сложил числа от 1 до 100
Эту историю рассказывают уже почти двести лет. Учитель задал классу сложить все числа от 1 до 100, надеясь спокойно отдохнуть. Но один мальчик почти сразу положил на стол дощечку с ответом. Это был будущий великий математик Карл Фридрих Гаусс. Разбираем, как он это сделал.
Для учеников 5–9 классов.
Легенда
Историю записал друг и биограф Гаусса уже после его смерти, в 1856 году. Гауссу тогда было около девяти лет. Возможно, числа в задаче были посложнее, а детали за годы приукрасили. Но приём, который применил мальчик, точно работает.
Приём с парами
Сложим первое число с последним, второе с предпоследним и так далее:
1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, …, 50 + 51 = 101
Пар получилось 50, и в каждой сумма 101. Значит, всего 50 · 101 = 5050. Никакого длинного сложения.
В общем виде сумма чисел от 1 до n:
1 + 2 + … + n = n(n + 1) / 2
Где ещё работает
Задача
1) Найдите сумму чисел от 1 до 1000. 2) На встрече 10 человек, каждый пожал руку каждому. Сколько было рукопожатий?
1) 1000 · 1001 / 2 = 500 500.
2) Первый пожал руку 9 людям, второй ещё 8 новым, третий 7 и так далее.
Всего 9 + 8 + … + 1 = 9 · 10 / 2 = 45.
Ответ: 500 500 и 45 рукопожатий.
Сумма нечётных чисел
Ещё один красивый факт: сумма первых нечётных чисел всегда квадрат.
1 = 1², 1 + 3 = 4 = 2², 1 + 3 + 5 = 9 = 3², 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²
Если выкладывать точки квадратом, каждое следующее нечётное число добавляет к нему «уголок» и превращает квадрат 3 × 3 в квадрат 4 × 4.
Это арифметическая прогрессия
Приём Гаусса работает для любого ряда, где числа растут на одну и ту же величину: сумма первого и последнего, умноженная на число членов и делённая пополам. В 9 классе это называют формулой суммы арифметической прогрессии. Подробнее в статье о прогрессиях, а другие приёмы устного счёта в статье «Пять задач, которые решаются в уме».
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.