Почему нельзя делить на ноль
«На ноль делить нельзя» запоминают в начальной школе. Но почему? Неужели математики не могли просто договориться? Оказывается, ответ простой, и после него правило уже не кажется странным.
Для учеников 5–9 классов.
Деление проверяется умножением
Разделить 12 на 3 значит найти число, которое при умножении на 3 даёт 12. Это 4, потому что 4 · 3 = 12.
Теперь попробуем разделить 12 на 0. Нужно число, которое при умножении на 0 даёт 12. Но любое число, умноженное на 0, даёт 0. Такого числа нет. Значит, у примера 12 : 0 нет ответа.
А ноль на ноль?
Здесь беда другая. Нужно число, которое при умножении на 0 даёт 0. Подходит 5, подходит 100, подходит любое число. Ответов бесконечно много, а у деления ответ должен быть один. Поэтому 0 : 0 тоже не определено.
«Доказательство», что 2 = 1
Посмотрите на рассуждение и найдите ошибку.
Задача
Пусть a = b. Тогда a² = ab, a² − b² = ab − b², (a + b)(a − b) = b(a − b), a + b = b, 2b = b, 2 = 1. Где ошибка?
Все шаги до (a + b)(a − b) = b(a − b) верные.
Дальше обе части поделили на (a − b).
Но a = b, значит, a − b = 0.
Мы поделили на ноль, и после этого можно «доказать» что угодно.
Ответ: Деление на a − b, которое равно нулю.
Такие ловушки встречаются и в настоящих задачах: при решении уравнений нельзя делить на выражение с переменной, не проверив, что оно не равно нулю. Иначе теряются корни. Подробнее в статье о квадратных уравнениях.
Корабль, который остановил ноль
В сентябре 1997 года американский крейсер «Йорктаун» испытывал компьютерную систему управления. Оператор ввёл в одно из полей ноль, программа попыталась на него поделить и упала. За ней отказала сеть, и корабль почти на три часа остался без хода посреди моря.
Современные программы обычно защищаются от этого: проверяют делитель перед делением. Это одна из первых ошибок, которую учатся ловить программисты.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
А в старших классах говорят про бесконечность?
Да, при изучении пределов. Если делить 1 на всё меньшее положительное число, результат растёт без границы. Но это не значит, что 1 : 0 равно бесконечности: бесконечность не число, и деление на ноль по-прежнему не определено.