Плотность, масса и объём: 10 задач
Плотность показывает, сколько весит кубический сантиметр или кубический метр вещества. По ней можно узнать, из чего сделан предмет, есть ли в нём пустоты и будет ли он плавать. Разбираем формулу, переводы единиц и решаем задачи, которые встречаются в 7 классе и на ОГЭ.
Для 7–9 классов.
Формула и единицы
ρ = m / V, m = ρ · V, V = m / ρ
Плотность измеряют в кг/м³ или г/см³. Связь: 1 г/см³ = 1000 кг/м³. Плотность воды 1 г/см³, то есть 1000 кг/м³. Удобно помнить, что литр воды весит килограмм.
Плотности, которые понадобятся в задачах: лёд 900 кг/м³, подсолнечное масло 930, бензин 710, алюминий 2700, железо и сталь 7800, медь 8900, свинец 11 300, ртуть 13 600, золото 19 300.
Определяем вещество
Задача
Брусок размером 2 × 5 × 10 см имеет массу 270 г. Из какого металла он сделан?
V = 2 · 5 · 10 = 100 см³.
ρ = 270 : 100 = 2,7 г/см³ = 2700 кг/м³.
По таблице это алюминий.
Ответ: алюминий.
Задача
Кубик с ребром 2 см весит 71,2 г. Определите вещество.
V = 2³ = 8 см³.
ρ = 71,2 : 8 = 8,9 г/см³.
Это медь.
Ответ: медь.
Задача
Мальчик опустил в мензурку с водой камень. Уровень воды поднялся с 50 до 70 мл. Масса камня 52 г. Найдите плотность камня.
Объём камня равен объёму вытесненной воды: 70 − 50 = 20 мл = 20 см³.
ρ = 52 : 20 = 2,6 г/см³.
Ответ: 2,6 г/см³, примерно как у гранита или стекла.
Этот способ измерения объёма подходит для тел любой формы, если они тонут и не впитывают воду. В лабораторных работах по физике 7 класса его используют постоянно.
Так, по легенде, Архимед проверял корону царя Гиерона: если её плотность меньше плотности золота, значит, мастер подмешал серебро. Объём короны сложной формы он измерил по вытесненной воде.
Находим массу и объём
Задача
Аквариум размером 50 × 30 × 40 см полностью заполнен водой. Найдите массу воды.
V = 50 · 30 · 40 = 60 000 см³ = 60 л.
m = 1 г/см³ · 60 000 см³ = 60 000 г = 60 кг.
Ответ: 60 кг.
Задача
Какой объём занимает 1 кг ртути?
ρ = 13,6 г/см³.
V = 1000 : 13,6 ≈ 73,5 см³.
Ответ: около 73,5 см³, меньше стакана.
Задача
Какова масса бензина в канистре объёмом 20 л?
20 л = 0,02 м³.
m = 710 · 0,02 = 14,2 кг.
Ответ: 14,2 кг.
Обратите внимание: 20 литров бензина весят меньше 20 килограммов, потому что бензин легче воды. Это же объясняет, почему бензин и масло плавают на поверхности воды.
Есть ли полость
Задача
Железный шар имеет массу 1,56 кг и объём 250 см³. Сплошной ли он? Если нет, найдите объём полости.
Масса сплошного шара такого объёма: 7,8 · 250 = 1950 г.
Реальная масса 1560 г, меньше. Значит, внутри полость.
Объём самого железа: 1560 : 7,8 = 200 см³.
Полость: 250 − 200 = 50 см³.
Ответ: не сплошной, полость 50 см³.
Задача
Из алюминия и из стали сделали два одинаковых по размеру кубика. Во сколько раз стальной тяжелее?
Объёмы равны, значит, массы относятся как плотности.
7800 : 2700 ≈ 2,9.
Ответ: почти в 3 раза.
Поэтому самолёты и велосипеды делают из алюминиевых сплавов: при той же прочности конструкции они получаются заметно легче стальных. А там, где важна именно масса, например у грузов для удочки, наоборот, используют свинец.
Логика такая: по массе и плотности находим, сколько места занимает вещество на самом деле. Разница с внешним объёмом и есть пустота. Так же рассуждают в задачах про пустотелый кирпич или трубу.
Лёд и смеси
Задача
Какая часть льдины находится под водой?
Плавающее тело погружается так, чтобы масса вытесненной воды равнялась его массе.
Доля под водой равна отношению плотностей: 900 : 1000 = 0,9.
Ответ: 90 %, над водой только десятая часть.
Задача
Смешали 1 л воды и 1 л подсолнечного масла (считаем, что объёмы складываются). Найдите среднюю плотность смеси.
Масса воды 1000 г, масла 930 г.
Всего 1930 г на 2000 см³.
ρ = 1930 : 2000 = 0,965 г/см³.
Ответ: 0,965 г/см³.
В жизни масло с водой не смешивается, а всплывает слоем сверху, именно потому что его плотность меньше. Почему вода вообще ведёт себя необычно и лёд плавает, рассказали в статье об аномалиях воды.
Разберём на занятии
Занимаемся по всем школьным предметам с 4 по 11 класс: живые занятия, общая доска и домашка, которую проверяет тот же преподаватель.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Как не запутаться в единицах?
Выбрать одну систему для всей задачи: либо граммы и сантиметры, либо килограммы и метры. Смешивать нельзя. Если плотность дана в кг/м³, а размеры в сантиметрах, переведите плотность в г/см³, поделив на 1000.
Что тяжелее: килограмм железа или килограмм пуха?
Одинаково, по килограмму. Но объём разный: килограмм железа поместится в ладони, а килограмм пуха займёт мешок. Это и есть разница в плотности, и шутка помогает запомнить, что масса и объём разные величины. Многие дети на этот вопрос отвечают «железо», и это хороший повод поговорить о плотности дома.
Почему плотность зависит от температуры?
При нагревании большинство веществ расширяются: масса та же, объём больше, плотность меньше. Поэтому тёплый воздух поднимается вверх, а на нём летают воздушные шары. По той же причине батареи отопления ставят внизу, под окнами: тёплый воздух сам расходится по комнате.