Почему люк круглый: фигуры постоянной ширины
Вопрос «почему люк круглый» когда-то любили задавать на собеседованиях. Главный ответ: круглая крышка не может провалиться в свой люк. Но интереснее другое: есть некруглые фигуры, которые тоже не проваливаются. Знакомьтесь с треугольником Рёло.
Для 6–11 классов. Нужны циркуль и линейка.
Почему круглый
- Круглая крышка не проваливается: её ширина в любом направлении равна диаметру, а отверстие чуть меньше.
- Квадратная провалилась бы: диагональ квадрата в √2 ≈ 1,41 раза длиннее стороны, и крышку можно уронить, поставив на ребро.
- Круглую тяжёлую крышку легко катить.
- Её не нужно поворачивать, чтобы попасть в отверстие.
- Круглую трубу колодца проще сделать и она лучше держит давление грунта.
Постоянная ширина
Ширина фигуры в каком-то направлении это расстояние между двумя параллельными прямыми, которые касаются фигуры с двух сторон. Если эта ширина одинаковая в любом направлении, фигуру называют фигурой постоянной ширины. Именно такие фигуры не проваливаются в отверстие своей формы.
Круг очевидный пример. Но есть и другие, самая известная из них треугольник Рёло, названный в честь немецкого инженера Франца Рёло, который изучал механизмы в XIX веке.
Как начертить
- Нарисуйте правильный треугольник ABC.
- Поставьте иглу циркуля в A и проведите дугу радиусом AB от B до C.
- То же самое из B, дуга от A до C, и из C, дуга от A до B.
- Три дуги и образуют треугольник Рёло.
Вырежьте его из картона и покатите между двумя линейками: расстояние между ними не меняется, хотя фигура совсем не круглая.
Где применяется
| Где | Как |
|---|---|
| Сверло Уоттса | сверло в форме треугольника Рёло, если его центр движется по особой траектории, вырезает почти квадратное отверстие с чуть скруглёнными углами |
| Двигатель Ванкеля | ротор в форме, близкой к треугольнику Рёло, вращается в камере и сжимает топливо |
| Монеты | британские монеты 20 и 50 пенсов семиугольные с выпуклыми сторонами и постоянной ширины, поэтому работают в автоматах |
| Карандаши и медиаторы | иногда делают такого сечения, чтобы удобнее держать |
Теорема Барбье
Французский математик Жозеф Барбье в 1860 году доказал удивительную вещь: у всех фигур постоянной ширины d одинаковый периметр, равный πd. У круга это просто длина окружности. А у треугольника Рёло периметр складывается из трёх дуг по 60° радиусом d:
3 · (60/360) · 2πd = πd
При этом площади разные. Из всех фигур постоянной ширины у круга площадь самая большая, а у треугольника Рёло самая маленькая. Это теорема Бляшке-Лебега.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Почему тогда не делают люки в форме треугольника Рёло?
Круг проще изготовить, его не нужно поворачивать, а круглую крышку удобно катить.
Бывают фигуры постоянной ширины в объёме?
Да, тела постоянной ширины. Например, тело Мейснера: оно не шар, но если положить его между двумя плоскостями, расстояние между ними не зависит от поворота.