Математика в музыке: ноты, октавы и дроби
Пифагор, по легенде, услышал в кузнице, что одни молоты звучат вместе приятно, а другие режут слух. Он связал это с числами и стал первым, кто описал музыку математикой. С тех пор связь только крепла: от настройки фортепиано до цифрового звука в наушниках.
Для 5–11 классов. Нужны дроби, для старших степени и корни.
Звук это частота
Звук это колебания воздуха. Чем чаще колебания, тем выше звук. Частоту измеряют в герцах, колебаниях в секунду. Человек слышит примерно от 20 до 20 000 Гц. Нота ля первой октавы, по которой настраивают оркестры, звучит на частоте 440 Гц.
Если частоту удвоить, получится та же нота, только выше: это октава. Ля следующей октавы звучит на 880 Гц, ля малой октавы на 220 Гц. Наш слух воспринимает удвоение частоты как «ту же ноту».
Созвучия Пифагора
Пифагор и его ученики изучали струну. Если зажать её посередине, она звучит на октаву выше. Если оставить две трети длины, звучит квинта. Если три четверти, кварта. Чем проще отношение чисел, тем приятнее созвучие.
| Интервал | Отношение частот | Пример от до |
|---|---|---|
| Октава | 2 : 1 | до и до следующей октавы |
| Квинта | 3 : 2 | до и соль |
| Кварта | 4 : 3 | до и фа |
| Большая терция | 5 : 4 | до и ми |
| Малая секунда | 16 : 15 | до и до-диез, звучит резко |
Почему 12 полутонов
Если подниматься от ноты квинтами, через 12 шагов почти вернёшься к исходной ноте, только на 7 октав выше. Почти, но не совсем:
(3/2)¹² ≈ 129,75, а 2⁷ = 128
Эту разницу, примерно 1,4 %, называют пифагоровой коммой. Из-за неё нельзя настроить инструмент так, чтобы все квинты были идеальными. Решение нашли в равномерной темперации: октаву делят на 12 одинаковых полутонов, и каждый умножает частоту на одно и то же число.
¹²√2 ≈ 1,0595
Задача
Ля звучит на 440 Гц. Какая частота у ля-диеза, следующего полутона, и у ми, на 7 полутонов выше?
Ля-диез: 440 · 1,0595 ≈ 466,2 Гц.
Ми: 440 · 1,0595⁷ ≈ 440 · 1,498 ≈ 659,3 Гц.
Сравните с идеальной квинтой: 440 · 3/2 = 660 Гц.
Ответ: Около 466 и 659 Гц. Темперированная квинта всего на 0,7 Гц ниже идеальной, ухо почти не замечает разницы.
Дроби в ритме
Длительности нот это дроби. Целая нота делится на две половинные, половинная на две четвертные, четвертная на две восьмые. Размер такта тоже записывается как дробь: 4/4 значит четыре четверти в такте, 3/4 три четверти, это размер вальса.
| Нота | Длительность |
|---|---|
| Целая | 1 |
| Половинная | 1/2 |
| Четвертная | 1/4 |
| Восьмая | 1/8 |
| Четверть с точкой | 1/4 + 1/8 = 3/8 |
Чтобы такт в 3/4 был полным, сумма длительностей нот в нём должна быть 3/4. Например, половинная и четвертная: 1/2 + 1/4 = 3/4. Музыканты складывают дроби постоянно, просто делают это на слух.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Правда, что математики часто музыкальны?
Многие известные математики играли на инструментах, но строгой связи исследования не подтверждают. Скорее и музыка, и математика любят узоры и структуру.
Как цифровая музыка связана с математикой?
Звук в компьютере хранится как последовательность чисел: обычно 44 100 замеров в секунду. Сжатие в MP3 и подавление шума в наушниках основаны на преобразовании Фурье.