Почему соты шестиугольные
Пчелиные соты выглядят так, будто их чертил инженер: ровные шестиугольники, плотно прижатые друг к другу. Ещё в Древнем Риме писали, что это самая выгодная форма. Но строгое доказательство появилось почти через две тысячи лет. Разбираемся, при чём тут геометрия и экономия.
Для 5–11 классов. Нужны периметр, площадь и немного корней.
Какие фигуры подходят
Ячейки должны прилегать друг к другу без щелей, иначе пропадёт место и понадобятся лишние стенки. Если брать правильные многоугольники, одинаковые, сходящиеся в вершинах, подходят только три: треугольник, квадрат и шестиугольник.
Причина в углах. Вокруг одной точки сумма углов должна быть 360°. У правильного треугольника угол 60°, их сходится 6. У квадрата 90°, сходится 4. У шестиугольника 120°, сходится 3. У пятиугольника угол 108°, и 360 на 108 нацело не делится, поэтому остаются щели.
Где меньше стенок
Пчеле нужно получить ячейки нужной площади, потратив меньше воска, то есть сделать периметр как можно меньше. Сравним три фигуры с площадью 1:
| Фигура | Периметр при площади 1 |
|---|---|
| Правильный треугольник | ≈ 4,56 |
| Квадрат | 4 |
| Правильный шестиугольник | ≈ 3,72 |
| Круг, для сравнения | ≈ 3,54, но круги не замощают плоскость |
Задача
Найдите периметр правильного шестиугольника площадью 1.
Шестиугольник со стороной a состоит из шести правильных треугольников, его площадь S = (3√3 / 2) · a².
Из S = 1 получаем a² = 2 / (3√3) ≈ 0,385, значит a ≈ 0,62.
Периметр P = 6a ≈ 3,72.
Ответ: Около 3,72, это меньше, чем у квадрата и треугольника той же площади.
К тому же в сотах соседние ячейки делят стенки, поэтому экономия ещё заметнее.
Гипотеза о сотах
Мысль о выгоде шестиугольника высказал ещё римский учёный Марк Теренций Варрон в I веке до нашей эры. Но правильные многоугольники не единственный вариант: можно было бы взять фигуры с кривыми сторонами или разные фигуры вперемешку. Утверждение, что шестиугольная решётка лучше вообще всех способов разбить плоскость на равные по площади части, назвали гипотезой о сотах.
Доказал её американский математик Томас Хейлз в 1999 году. За год до этого он же доказал гипотезу Кеплера о самой плотной упаковке шаров, той, которой продавцы складывают апельсины пирамидой.
Как строят пчёлы
Пчёлы не знают геометрии. Как у них получаются шестиугольники, учёные спорят. Одна версия: пчёлы чувствуют толщину стенок и выравнивают их. Другая: пчёлы лепят примерно круглые ячейки, а тёплый воск под действием натяжения сам вытягивается в плоские стенки, как мыльные пузыри, прижатые друг к другу, образуют шестиугольники.
Шестиугольники встречаются и без пчёл: в базальтовых столбах вроде Мостовой гигантов в Ирландии, в трещинах высохшей грязи, на панцире черепахи, в молекуле графена и в зеркалах телескопа «Джеймс Уэбб».
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Почему пчёлам так важна экономия?
Воск дорогой: чтобы выделить килограмм воска, пчёлы съедают несколько килограммов мёда.
А в объёме ячейки тоже экономные?
Дно ячейки сложено из трёх ромбов. Математики считали, что это почти оптимальная форма, но позже нашли чуть более экономную, разница меньше процента.