Задачи Ферми: как оценить то, что нельзя посчитать
Физик Энрико Ферми любил задавать студентам вопросы, на которые нет готового ответа: сколько настройщиков пианино в Чикаго? Оказывается, такие вопросы можно решить почти точно, если разбить их на простые шаги и оценить каждый. Это полезнейший навык и для учёбы, и для жизни. Разбираем метод и решаем пять задач.
Для 6–11 классов.
Метод Ферми
Энрико Ферми, итальянский физик и нобелевский лауреат 1938 года, был знаменит умением быстро оценивать величины. Во время первого испытания атомной бомбы в 1945 году он бросил с высоты клочки бумаги, посмотрел, насколько их отнесла ударная волна, и прикинул мощность взрыва. Его оценка оказалась на удивление близкой к результату точных приборов.
- Разбить вопрос на несколько простых величин, которые можно оценить.
- Оценить каждую по жизненному опыту, округляя до удобных чисел.
- Перемножить или сложить.
- Проверить ответ на здравый смысл.
Секрет в том, что ошибки в разных шагах обычно частично компенсируют друг друга: где-то вы завысили, где-то занизили. Поэтому итог часто оказывается правильным по порядку величины, то есть не дальше чем в несколько раз от точного.
Сколько ударов сделает сердце
Задача
Сколько раз сердце человека ударит за 75 лет жизни?
Пульс в покое около 70 ударов в минуту. Во сне меньше, при беге больше, возьмём 70.
В час 70 · 60 = 4 200 ударов.
В сутки 4 200 · 24 = 100 800, округлим до 100 000.
В год 100 000 · 365 ≈ 37 миллионов.
За 75 лет 37 млн · 75 ≈ 2,8 миллиарда.
Ответ: около 2,8 миллиарда ударов.
Проверим на здравый смысл: больше миллиарда, меньше десяти миллиардов. Звучит огромно, но сердце работает без перерыва всю жизнь. Для сравнения, у мыши пульс около 500 в минуту, а живёт она 2–3 года: её сердце успевает ударить всего около 700 миллионов раз.
Сколько воды мы выпиваем
Задача
Сколько литров воды выпьет человек за всю жизнь?
Человек выпивает около 2 литров жидкости в день, включая чай и суп.
В год 2 · 365 = 730 литров.
За 75 лет 730 · 75 ≈ 55 000 литров.
Ответ: около 55 тонн воды, это небольшой бассейн.
Обычный бассейн во дворе на 15–20 тысяч литров, значит, за жизнь мы выпиваем примерно три таких бассейна. Удобный приём: переводить огромное число в понятный образ. Так ответ лучше запоминается и легче проверяется.
Сколько волос на голове
Задача
Сколько волос на голове у человека?
Площадь волосистой части головы: представим её как полусферу радиусом около 9 см. Площадь сферы 4πr², половина 2πr² ≈ 2 · 3 · 81 ≈ 500 см². Волосы растут не по всей полусфере, возьмём 600 см² с учётом затылка.
Сколько волос на одном квадратном сантиметре? Если раздвинуть пряди, видно, что волоски растут примерно в полумиллиметре друг от друга. На 1 см помещается 20 волос, на 1 см² около 20 · 20 = 400, но растут они пучками, реально около 200.
600 · 200 = 120 000.
Ответ: около 100–150 тысяч волос.
Справочники называют похожее число: в среднем около 100 тысяч, у блондинов больше, у рыжих меньше. Наша оценка попала в нужный диапазон, хотя каждый шаг был очень приблизительным.
Задача о настройщиках пианино
Задача
Сколько настройщиков пианино работает в городе с населением миллион человек?
Пусть в среднем семья из 3 человек: в городе около 330 000 семей.
Пианино есть, скажем, у одной семьи из 30: около 11 000 пианино. Добавим музыкальные школы, всего около 12 000.
Пианино настраивают примерно раз в год: 12 000 настроек в год.
Настройщик за день успевает 2–3 инструмента, работает около 250 дней в году: примерно 600 настроек в год.
12 000 : 600 = 20.
Ответ: около 20 настройщиков.
Это и есть знаменитая задача Ферми. Точного ответа нет, но порядок понятен: не два и не тысяча, а десятки. Такие задачи любят давать на собеседованиях в крупные компании, чтобы проверить, как человек рассуждает.
Задачи для самостоятельной оценки
- Сколько страниц учебников вы прочитаете за 11 лет школы?
- Сколько шагов вы делаете за год?
- Сколько кирпичей в вашем доме?
- Сколько воздуха вы вдыхаете за сутки? Подсказка: за вдох около полулитра, вдохов около 15 в минуту.
- Сколько времени за жизнь человек проводит во сне?
Ответ на последний вопрос: около трети жизни, если спать 8 часов. За 75 лет это 25 лет. Для воздуха: 0,5 л · 15 · 60 · 24 ≈ 10 800 литров в сутки, около 11 кубометров. Остальные посчитайте сами и сравните с друзьями: интересно, чьи оценки окажутся ближе друг к другу.
Зачем это школьнику
Умение прикинуть ответ защищает от глупых ошибок. Если в задаче по физике получилось, что человек бежит со скоростью 300 км/ч, оценка сразу покажет: где-то ошибка. На ЕГЭ по физике и в олимпиадах есть задания, где нужна именно оценка, и проверка ответа на правдоподобие помогает везде.
А ещё задачи Ферми хорошая игра для семьи в дороге: один задаёт вопрос, все оценивают, а потом проверяют ответ в интернете. Похожие задачи с подвохом мы собрали в статье о задачах-ловушках.
Разберём на занятии
На живых занятиях преподаватель объясняет школьные темы через такие истории: так правило или формула запоминается с первого раза.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Насколько точны оценки Ферми?
Обычно они попадают в нужный порядок величины, то есть отличаются от точного ответа не больше чем в несколько раз. Для многих решений этого достаточно: важно понимать, сотни это или миллионы.
Какие знания нужны для таких задач?
Школьная математика: умножение, проценты, площади и объёмы. И жизненный опыт: сколько людей в семье, сколько часов в сутках, сколько стоит хлеб. Чем больше таких «опорных чисел» вы помните, тем точнее оценки.