Задание 20 базового ЕГЭ: движение и растворы
Двадцатый номер базового ЕГЭ это текстовые задачи: на движение, растворы и совместную работу. Они проще, чем в профиле, и обычно решаются без квадратных уравнений. Самая известная ловушка номера средняя скорость: её нельзя считать как среднее арифметическое скоростей.
Для 11 класса. По проекту демоверсии ФИПИ на 2027 год.
Разбор задач
Место встречи
Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из пунктов A и B, расстояние между которыми 18 км. Скорость первого 4 км/ч, второго 5 км/ч. На каком расстоянии от A они встретятся?
Скорость сближения 9 км/ч, встреча через 18 : 9 = 2 ч.
Первый пройдёт 4·2 = 8 км.
Ответ: 8
Средняя скорость
Автомобиль проехал 120 км со скоростью 60 км/ч, затем 120 км со скоростью 80 км/ч и 60 км со скоростью 120 км/ч. Найдите среднюю скорость на всём пути.
Время: 2 ч + 1,5 ч + 0,5 ч = 4 ч.
Путь 300 км, средняя скорость 300 : 4 = 75 км/ч.
Ответ: 75
Разбавление раствора
К 300 г 20-процентного раствора соли добавили 100 г воды. Какой стала концентрация в процентах?
Соли 300·0,2 = 60 г.
Раствора стало 400 г: 60/400 = 0,15.
Ответ: 15
Встречное движение
Из двух городов, расстояние между которыми 300 км, навстречу друг другу выехали два автомобиля со скоростями 70 и 80 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
Скорость сближения 150 км/ч.
300 : 150 = 2 ч.
Ответ: 2
Два насоса
Первый насос заполняет бассейн за 3 часа, второй за 6. За сколько часов они заполнят бассейн вместе?
За час вместе 1/3 + 1/6 = 1/2 бассейна.
Весь бассейн за 2 часа.
Ответ: 2
Почему средняя скорость не среднее скоростей
Среднее арифметическое скоростей 60, 80 и 120 равно 86,7, а правильный ответ 75. Дело в том, что на медленных участках машина едет дольше, и они сильнее влияют на результат. Средняя скорость это всегда весь путь, делённый на всё время.
Если путь поделён пополам и скорости v₁ и v₂, есть короткая формула: 2v₁v₂/(v₁ + v₂). Для 60 и 90 км/ч это 2·60·90/150 = 72 км/ч, а не 75.
Проверь себя
- Половину пути велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую половину 18 км/ч. Средняя скорость? Ответ: 14,4.
- Смешали 200 г 10-процентного и 300 г 20-процентного раствора. Концентрация в процентах? Ответ: 16.
- Один рабочий делает работу за 4 дня, второй за 12. За сколько дней вместе? Ответ: 3.
Где теряют балл
- Средняя скорость как среднее. Нужен весь путь на всё время.
- Масса раствора после разбавления. Добавленная вода увеличивает массу раствора, а количество вещества остаётся прежним.
- Расстояние от какого пункта. Спросили от A, а посчитали путь второго пешехода.
Как тренироваться
Более сложные текстовые задачи разобраны в статье задание 11 профильного ЕГЭ, растворы и сплавы в статье задачи на смеси и сплавы. Все номера базы в статье базовый ЕГЭ по номерам.
Разберём на занятии
Готовим к ОГЭ и ЕГЭ на живых занятиях в мини-группе до шести человек или один на один, с пробниками в формате экзамена и разбором каждой ошибки.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Чем двадцатый номер базы отличается от одиннадцатого профиля?
В базе задачи короче и обычно решаются линейным уравнением или прямым расчётом. В профиле чаще получается квадратное уравнение.
Сколько времени тратить?
Три-пять минут. Если задача не идёт, сделайте схему: отрезок пути с точками и скоростями.