Задание 11 профильного ЕГЭ: текстовые задачи
Одиннадцатый номер профильного ЕГЭ это текстовая задача: на движение, работу, смеси, проценты или прогрессию. Математика в ней несложная, обычно квадратное уравнение. Трудность в том, чтобы перевести текст в уравнение. Для этого есть один надёжный способ: таблица.
Для 10–11 классов. Нумерация по проекту демоверсии ФИПИ на 2027 год.
Способ таблицы
Почти все задачи одиннадцатого номера устроены по формуле «одно равно другому, умноженному на третье»:
| Тип задачи | Формула | Что обычно неизвестно |
|---|---|---|
| Движение | путь = скорость · время | скорость |
| Работа | работа = производительность · время | время или производительность |
| Смеси | вещество = концентрация · масса | масса или концентрация |
Рисуем таблицу: строки это участники (первая машина, вторая), столбцы три величины. Неизвестное обозначаем x, остальные клетки выражаем через x. Уравнение получается из того, что в условии сказано про разницу или сумму.
Разбор задач
Две машины
Из города A в город B, расстояние 120 км, одновременно выехали два автомобиля. Первый ехал на 10 км/ч быстрее и приехал на 1 час раньше. Найдите скорость второго автомобиля.
Скорость второго x, первого x + 10. Время 120/x и 120/(x + 10).
120/x − 120/(x + 10) = 1, отсюда 1200 = x(x + 10), x² + 10x − 1200 = 0.
D = 100 + 4800 = 4900, x = (−10 + 70)/2 = 30. Отрицательный корень не подходит.
Ответ: 30
Лодка на реке
Моторная лодка прошла против течения 112 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Скорость течения 3 км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.
Скорость лодки v, против течения v − 3, по течению v + 3.
112/(v − 3) − 112/(v + 3) = 6, отсюда 112·6 = 6(v² − 9), v² = 121.
v = 11. Проверка: 112/8 = 14 ч, 112/14 = 8 ч, разница 6 ч.
Ответ: 11
Совместная работа
Двое рабочих вместе выполняют заказ за 12 дней. Первый один выполнил бы его за 20 дней. За сколько дней выполнит заказ второй рабочий?
Весь заказ примем за 1. Вместе за день 1/12, первый 1/20.
Второй за день 1/12 − 1/20 = (5 − 3)/60 = 1/30.
Значит, один он справится за 30 дней.
Ответ: 30
Растворы
Смешали 4 литра 15-процентного раствора и 6 литров 25-процентного раствора одного вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора в процентах.
Вещества: 4·0,15 = 0,6 л и 6·0,25 = 1,5 л, вместе 2,1 л.
Раствора 10 л, концентрация 2,1/10 = 0,21.
Ответ: 21
Сплавы
Первый сплав содержит 10 % меди, второй 40 %. Масса второго на 3 кг больше массы первого. Из них получили сплав с 30 % меди. Найдите массу третьего сплава.
Масса первого x, второго x + 3, третьего 2x + 3.
Медь: 0,1x + 0,4(x + 3) = 0,3(2x + 3), то есть 0,5x + 1,2 = 0,6x + 0,9.
x = 3, масса третьего сплава 2·3 + 3 = 9 кг.
Ответ: 9
Проценты
Цену товара повысили на 20 %, а затем понизили на 20 %. На сколько процентов изменилась цена по сравнению с первоначальной?
После повышения цена 1,2 от исходной, после понижения 1,2·0,8 = 0,96.
Цена уменьшилась на 4 %.
Ответ: 4
Прогрессия
Рабочий в первый день изготовил 5 деталей, а каждый следующий день на 2 детали больше, чем в предыдущий. За сколько дней он изготовит 96 деталей?
Это арифметическая прогрессия: a₁ = 5, d = 2. Сумма за n дней Sₙ = n(2·5 + 2(n − 1))/2 = n(n + 4).
n(n + 4) = 96, n² + 4n − 96 = 0, D = 400, n = 8.
Ответ: 8
Как читать условие
Прочитайте условие дважды. В первый раз поймите сюжет: кто куда едет или что смешивают. Во второй раз выпишите все числа с единицами и подчеркните вопрос. Половина ошибок в одиннадцатом номере не в вычислениях, а в том, что нашли не ту величину.
Полезно сразу прикинуть порядок ответа. Скорость автомобиля 30–120 км/ч, концентрация от 0 до 100 %, число дней целое. Если вышло 0,3 км/ч или 140 %, где-то ошибка.
Проверь себя
- Поезд со скоростью 72 км/ч проходит мимо столба за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах. Ответ: 600.
- Первая труба наполняет бак за 6 часов, вторая за 3. За сколько часов они наполнят бак вместе? Ответ: 2.
- К 200 г 30-процентного раствора добавили 100 г воды. Найдите концентрацию в процентах. Ответ: 20.
- Вклад 10 000 рублей под 10 % годовых с начислением процентов на проценты. Сколько будет через 2 года? Ответ: 12 100.
- Два пешехода вышли навстречу друг другу из пунктов на расстоянии 18 км со скоростями 4 и 5 км/ч. Через сколько часов они встретятся? Ответ: 2.
Где теряют балл
- Не та величина в ответе. Спрашивают скорость второго, а записывают скорость первого. Перед записью перечитайте вопрос.
- Проценты в задаче с «повысили и понизили». 20 % вверх и 20 % вниз не дают ноль: проценты считаются от разных чисел.
- Вычитание в задачах на время. «Приехал на час раньше» значит, что его время меньше. Из большего вычитаем меньшее, иначе получится отрицательная разница.
- Растворы в процентах. В расчётах проценты переводим в доли, а в ответ, если спрашивают проценты, записываем число без знака %.
Как тренироваться
Решайте блоками по типам и обязательно с таблицей, даже когда кажется, что уравнение видно сразу. Через две недели таблица начнёт строиться в голове. Задачи с ответами в задачнике, задание 11.
Подробные разборы по типам: задачи на движение, на совместную работу, на смеси и сплавы и прогрессии.
Разберём на занятии
Готовим к ОГЭ и ЕГЭ на живых занятиях в мини-группе до шести человек или один на один, с пробниками в формате экзамена и разбором каждой ошибки.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Что делать, если уравнение получилось слишком сложным?
Обычно это значит, что неизвестное выбрано неудобно. Попробуйте обозначить за x другую величину, например, время вместо скорости.
Бывают ли в одиннадцатом номере задачи на кредиты?
В 2027 году финансовые задачи вынесли в отдельный тринадцатый номер. В одиннадцатом остаются движение, работа, смеси, проценты и прогрессии.