Задачи на смеси, сплавы и растворы
В задачах на смеси легко запутаться в процентах, но решаются они одним приёмом: следим не за смесью, а за чистым веществом в ней. Его масса при смешивании просто складывается. Разбираем растворы, разбавление, сплавы и знаменитую задачу про изюм.
Для учеников 8–11 классов. Третья задача в формате ЕГЭ.
Главная идея
масса вещества = масса смеси · концентрация
Если в 300 г раствора 20 % соли, соли в нём 0,2 · 300 = 60 г. При смешивании растворов складываются и массы смесей, и массы вещества. Концентрация не складывается никогда.
Удобно рисовать таблицу: строка на каждую смесь и на результат, колонки масса смеси, концентрация, масса вещества.
Смешали два раствора
Задача
Смешали 4 л 15-процентного раствора и 6 л 25-процентного. Какова концентрация получившегося раствора?
Вещества в первом: 0,15 · 4 = 0,6 л, во втором 0,25 · 6 = 1,5 л.
Всего вещества 2,1 л в 10 л раствора.
Концентрация: 2,1 : 10 = 0,21.
Ответ: 21 %.
Ответ всегда лежит между концентрациями исходных растворов и ближе к той, которого взяли больше. Это хорошая проверка.
Разбавили водой
Задача
Сколько граммов воды нужно добавить к 300 г 20-процентного раствора соли, чтобы получить 12-процентный?
Соли в растворе 60 г, вода её не меняет.
В новом растворе 60 г это 12 %. Масса раствора: 60 : 0,12 = 500 г.
Воды добавили 500 − 300 = 200 г.
Ответ: 200 г.
Сплавы: задача в формате ЕГЭ
Задача
Есть два сплава: первый содержит 10 % никеля, второй 30 %. Из них получили 200 кг сплава с содержанием никеля 25 %. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
Пусть первого сплава x кг, второго 200 − x кг.
Никеля: 0,1x + 0,3(200 − x) = 0,25 · 200 = 50.
0,1x + 60 − 0,3x = 50, откуда 0,2x = 10, x = 50. Второго 150 кг.
Разница: 150 − 50 = 100 кг.
Ответ: на 100 кг.
Проверка правилом креста
От нужной концентрации до каждой исходной: 25 − 10 = 15 и 30 − 25 = 5. Сплавы берут в обратном отношении: первого к второму как 5 к 15, то есть 1 к 3. Четверть от 200 это 50, три четверти 150. Ответ совпал.
Виноград и изюм
Задача
Виноград содержит 90 % влаги, изюм 5 %. Сколько килограммов винограда нужно, чтобы получить 20 кг изюма?
Высыхает только вода. Сухое вещество одно и то же.
В изюме сухого вещества 95 %: 0,95 · 20 = 19 кг.
В винограде это 10 % массы: 19 : 0,1 = 190 кг.
Ответ: 190 кг.
Здесь «чистое вещество» это всё, кроме воды. Тот же приём работает с сушёными грибами, сеном и любыми задачами, где из смеси что-то испаряется.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Почему нельзя найти среднее арифметическое концентраций?
Потому что растворов взяли разное количество. Среднее арифметическое верно, только если массы смесей равны. В общем случае это среднее взвешенное.
Где такие задачи встречаются на экзаменах?
На ОГЭ во второй части среди текстовых задач, в ЕГЭ по профильной математике в номере с текстовыми задачами первой части.