Задание 23 ОГЭ по математике: геометрия на вычисление
Двадцать третий номер ОГЭ по математике первая геометрическая задача второй части. Нужно найти длину, угол или площадь и обосновать каждый шаг. Задачи в банке повторяют несколько сюжетов, и если разобрать их заранее, номер становится одним из самых предсказуемых.
Для 9 класса. По демоверсии и открытому банку ФИПИ.
Четыре решения
Биссектриса в параллелограмме
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 7, KC = 5.
∠BAK = ∠KAD, потому что AK биссектриса. ∠KAD = ∠BKA как накрест лежащие при BC ∥ AD и секущей AK.
Значит, ∠BAK = ∠BKA, треугольник ABK равнобедренный, BK = AB = 7.
BC = 7 + 5 = 12, периметр 2(7 + 12) = 38.
Ответ: 38
Высота к гипотенузе
В прямоугольном треугольнике катет равен 6, гипотенуза 10. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
Второй катет по теореме Пифагора: √(100 − 36) = 8.
Площадь двумя способами: 6·8/2 = 10·h/2.
h = 48/10 = 4,8.
Ответ: 4,8
Равнобедренная трапеция
Основания равнобедренной трапеции равны 4 и 10, боковая сторона 5. Найдите площадь трапеции.
Опустим высоты из концов меньшего основания. Они отсекают от большего основания по (10 − 4)/2 = 3.
Высота по теореме Пифагора: √(25 − 9) = 4.
S = (4 + 10)·4/2 = 28.
Ответ: 28
Биссектрисы при боковой стороне
Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 10.
Углы A и B прилежат к боковой стороне, их сумма 180°. Половины в сумме дают 90°.
В треугольнике ABF два угла в сумме 90°, значит, ∠AFB = 90°.
AB = √(24² + 10²) = √676 = 26.
Ответ: 26
Как оформить
Решение двадцать третьего номера записывается короткими шагами, у каждого ссылка на факт: «как накрест лежащие», «по теореме Пифагора», «так как сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°». Длинные рассуждения не нужны, но каждое равенство должно быть обосновано.
Обязательно сделайте чертёж с обозначениями из условия. Если в задаче нет рисунка, его всё равно надо нарисовать: проверяющему так проще следить за решением.
Факты, которые нужны чаще всего
- Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
- Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°.
- Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, а также половине произведения гипотенузы на высоту.
- Высоты равнобедренной трапеции отсекают от большего основания равные отрезки, по полуразности оснований.
- Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны.
Проверь себя
- Катеты прямоугольного треугольника 9 и 12. Найдите высоту к гипотенузе. Ответ: 7,2.
- В параллелограмме биссектриса угла A делит сторону BC на отрезки BK = 4 и KC = 3. Найдите периметр. Ответ: 22.
- Основания равнобедренной трапеции 7 и 13, высота 4. Найдите боковую сторону. Ответ: 5.
Где теряют балл
- Нет обоснования. «BK = AB» без объяснения, почему треугольник равнобедренный, даёт ноль баллов, даже если ответ верный.
- Чертёж не по условию. Если на рисунке K ближе к C, а по условию ближе к B, легко перепутать отрезки.
- Только ответ. В задании второй части ответ без решения не засчитывается.
Как тренироваться
Разберите по три задачи на каждый сюжет и запишите их полностью, как на экзамене. Потом решайте смешанные задачи. Геометрия первой части, которая даёт нужные факты, разобрана в статье геометрия на ОГЭ, задания 15–19.
Следующий номер с доказательством в статье задание 24. Задания по номерам первой части в задачнике ОГЭ.
Разберём на занятии
Готовим к ОГЭ и ЕГЭ на живых занятиях в мини-группе до шести человек или один на один, с пробниками в формате экзамена и разбором каждой ошибки.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Сколько баллов за двадцать третий номер?
Два. Полный балл ставят за верный ход решения с обоснованием и верный ответ.
Можно ли пользоваться теоремами без доказательства?
Да, теоремы школьного курса можно применять со ссылкой на них. Доказывать их не нужно.