Задание 25 ОГЭ по математике: сложная геометрия
Двадцать пятый номер ОГЭ по математике самая сложная задача экзамена. Её решают немногие, и для пятёрки она не обязательна. Но если первая часть и задания 20–24 уже получаются, этот номер даёт последние два балла. В задачах банка почти всегда спрятан один ключевой факт: прямой угол, подобие или равные отрезки касательных.
Для 9 класса. По демоверсии и открытому банку ФИПИ.
Два решения
Две окружности в равнобедренном треугольнике
Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне треугольника касается продолжений боковых сторон и основания AC. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Пусть M середина AC, O центр внешней окружности, I центр вписанной. Обе точки лежат на высоте BM: треугольник симметричен.
AI биссектриса угла A, AO биссектриса внешнего угла при A. Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, значит, ∠IAO = 90°.
В прямоугольном треугольнике IAO высота AM: AM² = IM·MO. AM = 6, MO = 8, IM = r.
36 = 8r, r = 4,5.
Ответ: 4,5
Общая касательная двух окружностей
Окружности радиусов 4 и 9 касаются внешним образом. Найдите длину отрезка их общей внешней касательной между точками касания.
Расстояние между центрами 4 + 9 = 13. Радиусы в точки касания перпендикулярны касательной, значит, параллельны друг другу.
Проведём через центр меньшей окружности прямую, параллельную касательной. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 и катетом 9 − 4 = 5.
Второй катет равен искомому отрезку: √(169 − 25) = 12.
Ответ: 12
Как подступиться к задаче
Начните с большого аккуратного чертежа. В двадцать пятом номере половина решения обычно видна на хорошем рисунке: симметрия, прямые углы, параллельные отрезки.
Если есть окружность, проведите радиусы в точки касания и соедините центры. Если есть биссектрисы, вспомните, что внутренняя и внешняя биссектрисы перпендикулярны. Если есть параллельные прямые, ищите подобные треугольники.
Обозначьте неизвестное буквой и попробуйте выразить через него две разные величины, которые должны быть равны. Уравнение часто появляется само.
Когда браться за этот номер
Для пятёрки по шкале ОГЭ двадцать пятый номер не нужен: достаточно первой части и нескольких заданий второй. Браться за него стоит, когда остальное проверено и осталось хотя бы 25–30 минут. Если готовитесь в профильный класс, где смотрят на баллы, этот номер помогает выделиться.
Проверь себя
- Окружности радиусов 2 и 8 касаются внешним образом. Найдите отрезок общей внешней касательной. Ответ: 8.
- Основание равнобедренного треугольника 10, радиус окружности, касающейся основания и продолжений боковых сторон, 10. Найдите радиус вписанной окружности. Ответ: 2,5.
Во втором случае та же схема: AM = 5, AM² = r·10, r = 25/10 = 2,5.
Где теряют балл
- Факт без обоснования. «Угол IAO прямой» нужно объяснить: биссектрисы смежных углов.
- Неточный чертёж. На небрежном рисунке не видно симметрии и прямых углов, и идея не приходит.
- Слишком много времени. Если за 15 минут нет продвижения, лучше проверить первую часть.
Как тренироваться
Решайте задачи двадцать пятого номера после того, как уверенно получаются задания 23 и 24. Хватает 10–15 задач из банка, чтобы увидеть повторяющиеся идеи. Предыдущие номера: задание 23 и задание 24.
Разберём на занятии
Готовим к ОГЭ и ЕГЭ на живых занятиях в мини-группе до шести человек или один на один, с пробниками в формате экзамена и разбором каждой ошибки.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Сколько школьников решают двадцать пятый номер?
Немного: это самая сложная задача экзамена. Поэтому для большинства важнее надёжно решить первую часть и задания 20–23.
Похожие задачи есть на ЕГЭ?
Да, планиметрия второй части профильного ЕГЭ продолжает эти идеи. Посмотрите разбор задания 18 профильного ЕГЭ.