Задание 24 ОГЭ по математике: доказательство
Двадцать четвёртый номер ОГЭ по математике единственное задание, где не нужно ничего считать. Нужно доказать утверждение о фигуре. Многие пропускают его, не начиная, хотя доказательства в банке короткие и почти всегда опираются на равенство треугольников или свойства параллельных прямых.
Для 9 класса. По демоверсии и открытому банку ФИПИ.
Шаблон доказательства
- Сделать чертёж и выписать, что дано и что нужно доказать.
- Найти два треугольника, равенство или подобие которых даст нужное утверждение.
- Доказать равенство по признаку: назвать три пары равных элементов и объяснить, почему каждая пара равна.
- Сделать вывод: из равенства треугольников следуют равные стороны или углы, из них нужное утверждение.
Каждое «потому что» записывайте явно: «как вертикальные», «по условию», «как накрест лежащие при параллельных прямых». Без них доказательство превращается в описание рисунка.
Три доказательства
Параллельность через равенство треугольников
Отрезки AC и BD пересекаются в точке O, причём AO = OC и BO = OD. Докажите, что AB ∥ CD.
Рассмотрим треугольники AOB и COD: AO = OC и BO = OD по условию, ∠AOB = ∠COD как вертикальные.
Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.
Из равенства ∠BAO = ∠DCO. Это накрест лежащие углы при прямых AB, CD и секущей AC, значит, AB ∥ CD.
Ответ: Доказано
Равные площади в трапеции
Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.
Треугольники ABD и ACD имеют общее основание AD и равные высоты, ведь BC ∥ AD. Значит, их площади равны.
S(ABD) = S(AOD) + S(AOB), S(ACD) = S(AOD) + S(COD).
Вычитая общую часть S(AOD), получаем S(AOB) = S(COD).
Ответ: Доказано
Биссектрисы смежных углов
Докажите, что биссектрисы смежных углов перпендикулярны.
Смежные углы α и β в сумме дают 180°.
Угол между их биссектрисами равен α/2 + β/2 = (α + β)/2 = 90°.
Значит, биссектрисы перпендикулярны.
Ответ: Доказано
Что вспомнить перед экзаменом
- Три признака равенства треугольников и признаки равенства прямоугольных треугольников.
- Признаки и свойства параллельных прямых: накрест лежащие, соответственные, односторонние углы.
- Свойства параллелограмма, ромба, прямоугольника и равнобедренной трапеции.
- Свойство медианы и высоты равнобедренного треугольника.
- Площади треугольников с общей высотой относятся как основания.
Проверь себя
- В параллелограмме ABCD точки M и N середины сторон BC и AD. Докажите, что BMDN параллелограмм. Подсказка: BM ∥ ND и BM = ND.
- Докажите, что медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является высотой. Подсказка: два треугольника равны по трём сторонам.
- В треугольнике ABC проведена медиана AM. Докажите, что площади треугольников ABM и ACM равны. Подсказка: общая высота и равные основания.
Где теряют балл
- Опора на рисунок. «Видно, что треугольники равны» не доказательство.
- Неназванный признак. После перечисления трёх пар элементов нужно сказать, по какому признаку треугольники равны.
- Порочный круг. Нельзя использовать в доказательстве то, что нужно доказать.
Как тренироваться
Доказательства лучше всего тренируются вслух: объясните решение родителю или другу так, чтобы на каждое «почему» был ответ. Потом запишите. Пять-шесть разобранных задач уже дают уверенность.
Вычислительная геометрия второй части в статье задание 23, сложная задача в статье задание 25.
Разберём на занятии
Готовим к ОГЭ и ЕГЭ на живых занятиях в мини-группе до шести человек или один на один, с пробниками в формате экзамена и разбором каждой ошибки.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Сколько баллов за доказательство?
Два балла за полное обоснованное доказательство.
Стоит ли браться, если цель четвёрка?
Да. Доказательства в банке короткие, и это реальный шанс добрать баллы второй части без сложных вычислений.