Золотое сечение: правда и мифы
Золотое сечение называют «божественной пропорцией» и находят его повсюду: в пирамидах, картинах, логотипах и человеческом лице. Часть этих историй правда, часть красивые мифы. Разбираем, что такое золотое сечение на самом деле, считаем его сами и проверяем популярные утверждения.
Для 7–11 классов.
Что такое золотое сечение
Разделим отрезок на две части так, чтобы весь отрезок относился к большей части так же, как большая часть к меньшей. Это деление и называют золотым сечением, а отношение обозначают греческой буквой φ (фи).
a / b = (a + b) / a = φ φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618
Если длина всего отрезка 1, большая часть примерно 0,618, меньшая 0,382. Удивительное свойство: φ − 1 = 1/φ. То есть 1,618 − 1 = 0,618, и это ровно 1 : 1,618.
Задача
Выведите значение φ. Пусть меньшая часть 1, большая x. Составьте уравнение из определения золотого сечения и решите его.
Весь отрезок x + 1. Условие: (x + 1) / x = x / 1.
Умножаем на x: x + 1 = x², то есть x² − x − 1 = 0.
D = 1 + 4 = 5, x = (1 + √5) / 2. Отрицательный корень не подходит: длина положительна.
√5 ≈ 2,236, x ≈ 3,236 / 2 = 1,618.
Ответ: φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,618.
Получилось обычное квадратное уравнение 8 класса. Из него же следует и «волшебное» свойство: делим x² = x + 1 на x и получаем x = 1 + 1/x, то есть φ − 1 = 1/φ. Ничего мистического, просто алгебра.
Связь с Фибоначчи
Последовательность Фибоначчи: каждое число равно сумме двух предыдущих. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… Её описал итальянский математик Леонардо Пизанский, по прозвищу Фибоначчи, в 1202 году в задаче о кроликах.
Поделите каждое число на предыдущее: 2/1 = 2, 3/2 = 1,5, 5/3 ≈ 1,667, 8/5 = 1,6, 13/8 = 1,625, 21/13 ≈ 1,615, 34/21 ≈ 1,619. Отношения колеблются и всё ближе подходят к 1,618. Предел этих отношений и есть золотое сечение.
Задача
Проверьте на калькуляторе: 89/55 и 144/89. Насколько они отличаются от φ ≈ 1,6180?
89 : 55 ≈ 1,61818.
144 : 89 ≈ 1,61798.
Ответ: оба отличаются от φ меньше чем на 0,0002.
Где это правда
Подсолнух и шишки. Семечки в корзинке подсолнуха образуют спирали в двух направлениях. Если их посчитать, почти всегда получаются соседние числа Фибоначчи: 34 и 55, 55 и 89. То же у сосновых шишек и ананасов. Причина в том, как растение раскладывает новые семена: каждое следующее поворачивается на «золотой угол» около 137,5°, и так семена упаковываются плотнее всего.
Математика. В правильном пятиугольнике отношение диагонали к стороне ровно φ. Пятиконечная звезда вся состоит из золотых сечений.
Где это миф
- Парфенон и пирамиды. Чтобы «найти» φ, обычно выбирают удобные точки для измерений. Тщательные обмеры не показывают, что строители специально использовали эту пропорцию.
- Мона Лиза и картины. Прямоугольники, которые рисуют поверх картин, проведены произвольно. Документов, что Леонардо да Винчи строил композицию по золотому сечению, нет.
- Идеальное лицо и тело. Пропорции людей сильно различаются, и отношение роста к высоте пупка у большинства не равно 1,618. Красоту исследования с золотым сечением надёжно не связывают.
- Раковина наутилуса. Она закручена по красивой логарифмической спирали, но её коэффициент обычно не золотой.
Хороший урок: если долго искать нужное число, его можно найти почти везде. Это ловушка подгонки под ответ, о которой мы писали в статье о том, как читать научные новости.
Постройте сами
Задача
Нарисуйте на клетчатой бумаге квадраты со сторонами 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 клеток, прикладывая каждый новый к большей стороне предыдущего прямоугольника. Какой прямоугольник получится в конце?
Квадраты 1 и 1 дают прямоугольник 1 × 2, добавляем квадрат 2: получается 2 × 3, затем 3 × 5, 5 × 8, 8 × 13, 13 × 21.
Отношение сторон 21 : 13 ≈ 1,615.
Если провести в каждом квадрате четверть окружности, получится спираль, похожая на раковину.
Ответ: почти золотой прямоугольник 13 × 21 и спираль Фибоначчи.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Почему золотое сечение так популярно?
Потому что за ним стоит настоящая красивая математика, а красивые истории легко распространяются. Важно отделять одно от другого.
Правда ли, что кредитная карта размером с золотой прямоугольник?
Почти: стандартная банковская карта 85,6 × 54 мм, отношение около 1,59. Близко к 1,618, но не равно. Хороший пример того, как похожие числа принимают за золотое сечение.
Как проверить подсолнух самому?
Сфотографировать корзинку крупно и посчитать спирали, идущие по часовой стрелке, а потом против. Удобно отмечать спирали маркером на распечатке. Чаще всего получаются пары 34 и 55 или 55 и 89. Но бывают и исключения: природа не учебник, и у некоторых растений числа сбиваются. Учёные собирали такие данные тысячами, и в большинстве случаев числа Фибоначчи всё-таки находились.
Используют ли золотое сечение дизайнеры?
Иногда, как один из приёмов композиции, наряду с правилом третей. Но хороший дизайн держится не на одном числе: многие известные логотипы, которые якобы построены по φ, на деле нарисованы на глаз.
Есть ли золотое сечение на ОГЭ?
Как отдельной темы нет. Но числа Фибоначчи и рекуррентные последовательности встречаются в задачах по математике и информатике, а пропорции и квадратные уравнения нужны, чтобы вычислить φ.