Вероятность на кубиках: почему чаще всего выпадает 7

Один кубик

У честного кубика шесть граней, и каждая выпадает с одинаковой вероятностью 1/6. Вероятность события равна числу благоприятных исходов, делённому на число всех исходов. Выпадет чётное число: благоприятных исходов три (2, 4, 6), вероятность 3/6 = 1/2. Выпадет больше четырёх: два исхода (5 и 6), вероятность 2/6 = 1/3.

Важное слово «честный». Кубик со скошенными гранями или смещённым центром тяжести выпадает неравномерно. Казино заказывают кубики с точностью до сотых долей миллиметра и регулярно их меняют, а настольные игроки иногда проверяют свои кубики, бросая их в солёную воду: нечестный кубик всё время всплывает одной гранью вверх.

Два кубика: 36 исходов

Если бросить два кубика, каждый результат первого может сочетаться с каждым результатом второго: 6 · 6 = 36 исходов. Важно различать кубики, например красный и синий: выпадения 1 на красном и 6 на синем и 6 на красном и 1 на синем это разные исходы.

Посчитаем, сколькими способами получается каждая сумма. Сумма 2 только одним способом: 1 и 1. Сумма 3 двумя: 1 и 2, 2 и 1. Сумма 4 тремя. И так далее до суммы 7, которую дают шесть пар: 1 и 6, 2 и 5, 3 и 4, 4 и 3, 5 и 2, 6 и 1. Дальше число способов снова уменьшается: сумма 12 только 6 и 6.

способов: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1 суммы: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

Поэтому 7 выпадает в шесть раз чаще, чем 2 или 12. Создатели настольных игр это знают: в «Колонизаторах» поля с числами 6 и 8 отмечены красным как самые доходные, а 7 вообще запускает разбойника. В «Монополии» чаще всего посещают клетки, которые стоят в семи шагах от популярных точек.

Задачи с двумя кубиками

Приём из задач 4 и 5 очень полезен: если считать «хотя бы один» трудно, посчитайте противоположное событие «ни одного» и вычтите из единицы. В ЕГЭ это встречается постоянно. Больше таких задач в статье о теории вероятностей с нуля.

Ошибка игрока

Пять бросков подряд не выпадала шестёрка. Многие уверены, что теперь она «должна» выпасть, ведь выпадает в среднем раз в шесть бросков. Это ошибка, которую называют ошибкой игрока. Кубик не помнит прошлых бросков, и вероятность шестёрки на следующем броске по-прежнему 1/6.

Знаменитый случай произошёл в 1913 году в казино Монте-Карло: на рулетке чёрное выпало 26 раз подряд. Игроки массово ставили на красное, «ведь оно уже точно должно выпасть», и проиграли огромные деньги. Длинные серии случаются, просто редко, и каждый следующий результат от них не зависит.

Обе вероятности верны, и в этом нет противоречия. Пять орлов подряд редкость, если смотреть до начала бросков. Но когда четыре орла уже выпали, вопрос только об одном броске.

Проверьте опытом

Возьмите два кубика и бросьте их 100 раз, записывая суммы. Нарисуйте столбчатую диаграмму. Почти наверняка в середине будет «горка» с вершиной около 7, а по краям низкие столбцы. Чем больше бросков, тем ближе картинка к расчёту: при 36 000 бросках сумма 7 выпадет около 6 000 раз.

Это проявление закона больших чисел: при большом количестве испытаний доля событий приближается к их вероятности. Именно поэтому казино в долгую всегда выигрывает: преимущество в несколько процентов на каждой ставке за тысячи ставок превращается в гарантированную прибыль.

Такой опыт можно провести и на компьютере: в Python функция random.randint(1, 6) бросает виртуальный кубик. Сто тысяч бросков занимают долю секунды, и горка получается почти идеальной.

Частые вопросы