Число Грэма и другие самые большие числа
Самое большое число, о котором спорят на перемене, обычно «бесконечность плюс один». Но у математиков есть настоящие, конечные числа, настолько большие, что для них пришлось придумывать новые способы записи. Поднимаемся по ступенькам от миллиона до числа Грэма.
Для 5–11 классов. Нужно понимать, что такое степень.
Ступеньки
| Число | Сколько это | Для сравнения |
|---|---|---|
| Миллион | 10⁶ | примерно столько секунд в 11,5 днях |
| Миллиард | 10⁹ | секунд в 32 годах |
| Триллион | 10¹² | секунд в 32 тысячах лет |
| Число атомов в наблюдаемой Вселенной | около 10⁸⁰ | оценка астрономов |
| Гугол | 10¹⁰⁰ | больше, чем атомов во Вселенной |
| Гуголплекс | 10 в степени гугол | записать цифрами нельзя: не хватит атомов |
Слово «гугол» придумал в 1920 году девятилетний Милтон Сиротта, племянник американского математика Эдварда Казнера. Казнер рассказал о нём в книге 1940 года, а через много лет основатели поисковика назвали свою компанию похожим словом.
Стрелки Кнута
Степени быстро перестают помогать. Программист и математик Дональд Кнут в 1976 году предложил запись стрелками. Одна стрелка это обычная степень, две стрелки это башня степеней, три стрелки это башня из башен.
3↑3 = 3³ = 27
3↑↑3 = 3↑(3↑3) = 3²⁷ = 7 625 597 484 987
3↑↑↑3 = 3↑↑(3↑↑3): башня из троек высотой 7 625 597 484 987 этажей
Уже 3↑↑↑3 невообразимо больше гуголплекса. А это только начало пути к числу Грэма.
Число Грэма
Американский математик Рональд Грэм работал над задачей из теории Рамсея: сколько измерений должен иметь куб, чтобы при любой раскраске соединений между его вершинами в два цвета обязательно нашлась плоская четвёрка вершин, все связи между которыми одного цвета. Грэм доказал, что такое число измерений существует, и дал верхнюю границу. Эта граница и есть число Грэма.
- Берём g₁ = 3↑↑↑↑3, с четырьмя стрелками.
- g₂ это 3, потом g₁ стрелок, потом 3.
- g₃ это 3, потом g₂ стрелок, потом 3.
- И так 64 раза. Число Грэма это g₆₄.
В 1980 году число попало в Книгу рекордов Гиннесса как самое большое число, использованное в серьёзном математическом доказательстве. Записать его цифрами невозможно, но последние цифры вычислить можно, потому что степени тройки повторяют окончания по кругу. Число Грэма заканчивается на …2464195387.
Есть и больше
Позже появились числа ещё больше, например TREE(3) из теории графов. Рядом с ним число Грэма кажется крошечным. При этом любое из этих чисел конечно: оно бесконечно далеко от бесконечности. Если число Грэма прибавить к самому себе, умножить или возвести в степень, получится просто ещё одно конечное число.
Хорошая новость для задачи Грэма: позже математики доказали, что ответ намного меньше его границы. Сейчас известно, что нужное число измерений не меньше 13.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Какое самое большое число?
Такого нет: к любому числу можно прибавить единицу. Поэтому спорят о самых больших числах, которые использовались в реальных задачах.
Что больше: гуголплекс или число Грэма?
Число Грэма, причём настолько, что сравнивать их бессмысленно. Даже 3↑↑↑3 уже больше гуголплекса.