Цилиндр: объём, площадь и задачи
Цилиндр одно из самых частых тел в задачах ЕГЭ по стереометрии. Хорошая новость: все формулы выводятся из того, что ты уже знаешь о круге и прямоугольнике.
Для учеников 10–11 классов.
Формулы
| Величина | Формула | Откуда |
|---|---|---|
| Объём | V = πr²h | Площадь круга на высоту |
| Боковая поверхность | S = 2πrh | Развёртка: прямоугольник длиной 2πr и высотой h |
| Полная поверхность | S = 2πr(r + h) | Боковая плюс два круга πr² |
| Осевое сечение | Прямоугольник 2r × h | Разрез через ось |
Простой пример
Задача
Радиус основания цилиндра 3, высота 5. Найдите объём и полную поверхность.
V = π · 3² · 5 = 45π.
S = 2π · 3 · (3 + 5) = 48π.
Ответ: V = 45π, S = 48π.
Задача про воду
Задача
В цилиндрическом сосуде уровень воды 16 см. Воду перелили в другой цилиндрический сосуд, у которого диаметр в 2 раза больше. На какой высоте окажется вода?
Объём воды не меняется: πr²·16 = π(2r)²·h.
16r² = 4r²h.
h = 4.
Ответ: 4 см. Диаметр больше в 2 раза, площадь дна в 4 раза, высота в 4 раза меньше.
Задача про сечение
Задача
Осевое сечение цилиндра квадрат площадью 36. Найдите площадь боковой поверхности.
Сторона квадрата 6: значит, h = 6 и 2r = 6, r = 3.
S = 2π · 3 · 6 = 36π.
Ответ: 36π.
Что дальше
Цилиндр часто идёт в паре с конусом и шаром: у конуса с тем же основанием и высотой объём ровно в три раза меньше, а у шара, вписанного в цилиндр, в полтора раза. Разбираем в статьях о конусе и о шаре.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Как не перепутать формулы боковой поверхности цилиндра и конуса?
У цилиндра 2πrh: развёртка прямоугольник. У конуса πrl: развёртка сектор, и вместо высоты берётся образующая l.