Объём пирамиды и призмы: формулы и задачи
Многогранники встречаются в ЕГЭ и в первой, и во второй части. Формул немного, а главное умение найти высоту и площадь основания, часто через теорему Пифагора.
Для учеников 10–11 классов.
Формулы
| Тело | Объём | Что ещё полезно |
|---|---|---|
| Призма | V = S·h | S боковой = периметр основания · h |
| Прямоугольный параллелепипед | V = abc | Диагональ d = √(a² + b² + c²) |
| Куб | V = a³ | Диагональ a√3 |
| Пирамида | V = ⅓S·h | S боковой правильной = ½ · периметр · апофема |
Диагональ параллелепипеда
Задача
Рёбра прямоугольного параллелепипеда 2, 3 и 6. Найдите его диагональ.
d = √(4 + 9 + 36) = √49.
Ответ: 7.
Правильная пирамида
Задача
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания 6, высота 4. Найдите объём и полную поверхность.
Площадь основания 6² = 36. V = ⅓ · 36 · 4 = 48.
Апофема: от центра основания до середины стороны 3, высота 4, по теореме Пифагора апофема 5.
Боковая поверхность: ½ · 24 · 5 = 60. Полная: 60 + 36 = 96.
Ответ: V = 48, S = 96.
Отсечённый угол куба
Задача
От куба с ребром 6 плоскостью отрезали угол: пирамиду, у которой три ребра выходят из одной вершины куба и равны по 6. Найдите её объём.
Основание прямоугольный треугольник с катетами 6 и 6, площадь 18.
Высота 6. V = ⅓ · 18 · 6 = 36.
Ответ: 36, то есть ровно шестая часть куба.
Связь с телами вращения
Призма и цилиндр считаются одинаково: площадь основания на высоту. Пирамида и конус тоже: треть от этого. Поэтому достаточно запомнить две идеи, а не восемь формул. Подробно в статьях о цилиндре и о конусе.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Что такое апофема?
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из вершины пирамиды. Не путать с высотой самой пирамиды.