Шар и сфера: объём, площадь и задачи
Шар самое симметричное тело, и формул у него всего две. Но задачи с шаром проверяют понимание того, как объём и площадь зависят от размера, и это отличная тренировка.
Для учеников 10–11 классов.
Формулы
V = 4/3 · πR³
S = 4πR²
Шар это тело, сфера это его поверхность. У шара объём, у сферы площадь.
Задача
Найдите объём шара и площадь его поверхности, если радиус равен 3.
V = 4/3 · π · 27 = 36π.
S = 4 · π · 9 = 36π.
Ответ: Объём 36π, площадь 36π. Совпадение числами только при R = 3: единицы измерения у них разные.
Как меняется при увеличении
| Радиус увеличили в | Площадь растёт в | Объём растёт в |
|---|---|---|
| 2 раза | 4 раза | 8 раз |
| 3 раза | 9 раз | 27 раз |
| k раз | k² раз | k³ раз |
Задача
Объём одного шара в 27 раз больше объёма второго. Во сколько раз площадь поверхности первого больше площади второго?
Объёмы относятся как k³ = 27, значит k = 3.
Площади относятся как k² = 9.
Ответ: В 9 раз.
Теорема Архимеда
Впишем шар радиуса R в цилиндр: высота цилиндра 2R, радиус R.
V цилиндра = πR² · 2R = 2πR³, V шара = 4/3 · πR³ = 2/3 · V цилиндра
И полная поверхность цилиндра 6πR², а сферы 4πR², тоже две трети. Архимед считал это открытие главным, и, по словам Цицерона, на его надгробии были изображены шар и цилиндр. Цицерон нашёл заросшую могилу Архимеда в Сиракузах именно по этому рисунку.
Про цилиндр подробно в статье о цилиндре.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Почему в формуле объёма 4/3?
Точный вывод требует интегралов. Но можно запомнить через Архимеда: шар это 2/3 описанного цилиндра, а 2/3 от 2πR³ как раз 4/3πR³.