Конус: объём, площадь и задачи
Конус выглядит проще цилиндра, но в задачах с ним больше ловушек: образующая, подобие, сечения. Разбираем формулы и самые частые задачи.
Для учеников 10–11 классов.
Формулы
| Величина | Формула |
|---|---|
| Объём | V = ⅓πr²h |
| Образующая | l = √(r² + h²) |
| Боковая поверхность | S = πrl |
| Полная поверхность | S = πr(r + l) |
Образующая находится по теореме Пифагора: радиус, высота и образующая образуют прямоугольный треугольник.
Пример 3-4-5
Задача
Радиус основания конуса 3, высота 4. Найдите объём и полную поверхность.
l = √(9 + 16) = 5.
V = ⅓ · π · 9 · 4 = 12π.
S = π · 3 · (3 + 5) = 24π.
Ответ: V = 12π, S = 24π.
Задача про жидкость
Задача
В сосуд в форме конуса налили 25 мл жидкости, уровень жидкости дошёл до половины высоты. Сколько миллилитров нужно долить, чтобы заполнить сосуд?
Жидкость образует маленький конус, подобный большому, с коэффициентом 1/2.
Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента: (1/2)³ = 1/8.
Весь конус: 25 · 8 = 200 мл. Долить 200 − 25.
Ответ: 175 мл.
Это одна из самых популярных задач ЕГЭ, и в ней ошибается почти каждый, кто считает «половина высоты значит половина объёма».
Почему треть
Если взять цилиндр и конус с одинаковым основанием и высотой и наполнять цилиндр водой из конуса, понадобится ровно три конуса. Строгое доказательство требует интегралов, но в древности это знали уже Демокрит и Евдокс, а Архимед доказал хитрым методом «исчерпывания».
Формулы цилиндра в статье о цилиндре, пирамиды в статье об объёме пирамиды и призмы. У пирамиды та же треть.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Что такое усечённый конус?
Конус, у которого срезали верхушку плоскостью, параллельной основанию. Его объём удобно находить как разность объёмов большого и маленького конусов.