Фракталы: фигуры, которые повторяют сами себя

Что такое фрактал

Слово «фрактал» придумал французско-американский математик Бенуа Мандельброт в 1975 году, от латинского fractus, «дробный, изломанный». Главное свойство фракталов самоподобие: если увеличить кусочек, увидишь почти то же, что видел целиком.

Фракталы строят простым правилом, которое повторяют снова и снова. Это сближает их с программированием: вся сложность фигуры рождается из нескольких строк кода и цикла.

Снежинка Коха

Возьмите равносторонний треугольник. Каждую сторону разделите на три части и на средней трети постройте наружу маленький равносторонний треугольник, а саму среднюю треть сотрите. Повторите с каждым новым отрезком. И снова.

А площадь при этом остаётся конечной: снежинка никогда не выходит за круг, описанный вокруг исходного треугольника. Точный расчёт даёт площадь в 8/5 раза больше исходного треугольника. Бесконечная граница вокруг конечной области звучит невозможно, но фракталы так устроены. Как считать суммы прогрессий, разобрали в статье о прогрессиях.

Треугольник Серпинского

Возьмите закрашенный треугольник, соедините середины сторон и вырежьте центральный треугольник. Останется три. С каждым из них сделайте то же самое.

Удивительно, но этот же треугольник получается из треугольника Паскаля, если закрасить нечётные числа, и из игры случайных точек: отметьте три вершины, начните из любой точки, каждый раз бросайте кубик, выбирайте вершину и ставьте точку посередине пути к ней. Через тысячу точек проступит треугольник Серпинского.

Дробная размерность

У отрезка размерность 1, у квадрата 2, у куба 3. Есть простой способ её посчитать: если уменьшить фигуру в 3 раза, отрезок распадётся на 3 копии, квадрат на 9 = 3², куб на 27 = 3³. Показатель степени и есть размерность.

А снежинка Коха при уменьшении в 3 раза состоит из 4 своих копий. Значит, 3 в какой-то степени d должно дать 4. Такого целого числа нет: d = log₃ 4 ≈ 1,26. Фигура «больше» линии, но «меньше» площади. Отсюда и название: фрактал, дробный.

Размерность береговой линии Британии, по оценке Мандельброта, около 1,25, а у более изрезанного побережья Норвегии больше. Чем больше размерность, тем сильнее граница изрезана.

Какой длины побережье

Британский учёный Льюис Ричардсон заметил странность: у одной и той же границы в разных справочниках разная длина. Мандельброт объяснил это в статье 1967 года «Какова длина побережья Британии?».

Если мерить берег линейкой в 100 км, мелкие заливы проскакивают. Линейкой в 10 км мы обходим их и получаем больше. Линейкой в 1 метр огибаем каждый камень, и длина растёт снова. Береговая линия ведёт себя как фрактал: чем точнее мерить, тем она длиннее.

Фракталы в природе и технике

• Капуста романеско: каждый бугорок состоит из маленьких бугорков той же формы.
• Деревья, папоротник, кровеносные сосуды и бронхи: ветвление повторяется на разных масштабах. Так лёгкие при объёме в несколько литров имеют огромную площадь поверхности.
• Молнии, реки, горы, облака: природные процессы часто дают фрактальные формы.
• Антенны в телефонах: фрактальная форма помогает ловить сигналы разной частоты в маленьком корпусе.
• Компьютерная графика: горы и облака в фильмах и играх часто генерируют фрактальными алгоритмами.

Самый знаменитый фрактал, множество Мандельброта, задаётся одной формулой z → z² + c. Его границу можно увеличивать бесконечно и всё время находить новые узоры, в том числе маленькие копии всего множества.

Частые вопросы