Арифметическая и геометрическая прогрессия
Прогрессии проходят в 9 классе, и на ОГЭ им отведена отдельная задача. Формул всего четыре, и две из них легко вывести самому. Разбираем обе прогрессии на задачах, которые больше похожи на жизнь, чем на учебник.
Для учеников 9 класса, пригодится на ОГЭ и ЕГЭ.
Арифметическая прогрессия
Каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа d, разности прогрессии. Например, 3, 7, 11, 15: здесь d = 4.
aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2
Задача
a₁ = 3, d = 4. Найдите двадцатый член и сумму первых двадцати членов.
a₂₀ = 3 + 19 · 4 = 79.
S₂₀ = (3 + 79) · 20 / 2 = 82 · 10 = 820.
Ответ: a₂₀ = 79; S₂₀ = 820.
Как сложить числа от 1 до 100 за минуту
Есть известная история: учитель задал классу сложить все числа от 1 до 100, а маленький Карл Гаусс почти сразу назвал ответ. Он заметил, что 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 и так далее всегда дают 101. Таких пар 50, значит, сумма 50 · 101 = 5 050.
Это и есть вывод формулы суммы: первый и последний член в сумме дают то же, что второй и предпоследний. Пар n/2, каждая равна a₁ + aₙ.
Задача про зрительный зал
Задача
В первом ряду зала 20 мест, в каждом следующем на 2 места больше. Всего 15 рядов. Сколько мест в зале?
Число мест в рядах образует арифметическую прогрессию: a₁ = 20, d = 2.
В последнем ряду a₁₅ = 20 + 14 · 2 = 48.
Всего: (20 + 48) · 15 / 2 = 510.
Ответ: 510 мест.
Геометрическая прогрессия
Каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число q, знаменатель прогрессии. Например, 3, 6, 12, 24: q = 2.
bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹ Sₙ = b₁(qⁿ − 1) / (q − 1)
Задача
b₁ = 3, q = 2. Найдите шестой член и сумму первых шести членов.
b₆ = 3 · 2⁵ = 96.
S₆ = 3 · (2⁶ − 1) / (2 − 1) = 3 · 63 = 189. Проверка сложением: 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 = 189.
Ответ: b₆ = 96; S₆ = 189.
Где растёт геометрическая прогрессия
По легенде, изобретатель шахмат попросил у правителя награду зерном: одно зерно на первую клетку доски, два на вторую, четыре на третью и так далее. На всех 64 клетках вышло бы 2⁶⁴ − 1 зёрен, это больше 18 квинтиллионов, больше всего зерна, собранного человечеством.
Так же растут бактерии. Если популяция удваивается каждые 20 минут, за 3 часа произойдёт 9 удвоений, и бактерий станет в 2⁹ = 512 раз больше. Вклад со сложными процентами из статьи о процентах тоже геометрическая прогрессия со знаменателем 1 + p/100.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Как отличить арифметическую прогрессию от геометрической?
Посчитать разности соседних членов и их отношения. Если разности равны, прогрессия арифметическая, если равны отношения, геометрическая.
Нужно ли учить формулы наизусть?
Справочные материалы на ОГЭ по математике выдают, но время экономит тот, кто помнит формулы сам. Формулу n-го члена и сумму арифметической прогрессии к тому же легко вывести за минуту, как это сделал Гаусс.