Гипотеза Коллатца: простое правило, которое никто не может доказать

Правило

Возьмите любое натуральное число. Если оно чётное, разделите на 2. Если нечётное, умножьте на 3 и прибавьте 1. С результатом сделайте то же самое, и так далее.

6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

Дойдя до 1, мы попадаем в круг 1 → 4 → 2 → 1. Гипотеза в том, что с любого числа рано или поздно придёшь к единице. Её сформулировал немецкий математик Лотар Коллатц в 1937 году.

Число 27

Некоторые числа идут к единице долго и странными путями. Число 27 делает 111 шагов и по пути взлетает до 9232, а потом всё-таки падает до 1. Попробуйте посчитать первые десять шагов сами: 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71.

Последовательность так скачет вверх и вниз, что её иногда называют «числами-градинами»: как градина в облаке, число поднимается и падает, пока не упадёт окончательно.

Почему не доказали

Компьютеры проверили гипотезу для всех чисел примерно до 2⁶⁸, это около 300 миллиардов миллиардов. Ни одного исключения. Но проверка не доказательство: вдруг где-то дальше есть число, которое уходит в бесконечность или попадает в другой круг.

Великий математик Пал Эрдёш говорил, что математика ещё не готова к таким задачам. В 2019 году Теренс Тао доказал, что почти все числа ведут себя «хорошо», и это считается большим шагом, но до полного доказательства ещё далеко.

Другие простые нерешённые задачи

• Проблема Гольдбаха (1742): каждое чётное число больше 2 можно записать как сумму двух простых. 10 = 3 + 7, 28 = 11 + 17. Проверено до огромных чисел, не доказано.
• Простые числа-близнецы: пар простых, отличающихся на 2, как 11 и 13 или 17 и 19, бесконечно много? Неизвестно.
• Число 196: если прибавлять к нему перевёрнутое, получится ли когда-нибудь палиндром? Об этом в статье об играх со словами и числами.

Такие задачи хорошо показывают, что математика не закончена: в ней есть вопросы, на которые может ответить ваше поколение.