Зёрна на шахматной доске: сила степеней двойки
По легенде, индийский правитель так обрадовался шахматам, что предложил их изобретателю любую награду. Тот скромно попросил пшеницы: одно зерно на первую клетку доски, два на вторую, четыре на третью, и на каждую следующую вдвое больше. Правитель рассмеялся над такой малостью. А зря.
Для учеников 6–11 классов.
Считаем зёрна
На первой клетке 1 зерно, на второй 2, на третьей 4, на n-й 2ⁿ⁻¹. На последней, 64-й, лежит 2⁶³ зёрен. Всего на доске:
1 + 2 + 4 + … + 2⁶³ = 2⁶⁴ − 1 = 18 446 744 073 709 551 615
Это почти 18,5 миллиарда миллиардов зёрен. Если одно зерно весит около 0,05 грамма, вся награда весит около 900 миллиардов тонн. Весь мир выращивает за год около 800 миллионов тонн пшеницы. Изобретателю пришлось бы ждать больше тысячи лет.
Почему сумма такая простая
Заметьте: 1 + 2 = 3 = 4 − 1, 1 + 2 + 4 = 7 = 8 − 1. Каждая следующая степень двойки на единицу больше суммы всех предыдущих. Поэтому сумма до 2⁶³ равна 2⁶⁴ − 1.
Лист бумаги до Луны
Задача
Толщина листа бумаги 0,1 мм. Если бы его можно было сложить пополам 42 раза, какой толщины получилась бы стопка?
Каждое сложение удваивает толщину: 0,1 · 2⁴² мм.
2⁴² ≈ 4,4 · 10¹².
0,1 мм · 4,4 · 10¹² = 4,4 · 10¹¹ мм ≈ 440 000 км.
Ответ: Около 440 тысяч километров, больше расстояния до Луны (384 тысячи км).
На деле сложить лист больше 7–8 раз почти невозможно. Рекорд, 12 сложений, поставила в 2002 году американская школьница Бритни Галливан: она взяла рулон бумаги длиной больше километра и заранее рассчитала, сколько её нужно.
Ханойская башня
Есть головоломка: три стержня и стопка дисков разного размера. Нужно перенести стопку на другой стержень, перекладывая по одному диску и никогда не кладя больший на меньший. Для n дисков нужно 2ⁿ − 1 ходов.
По легенде, монахи в храме перекладывают 64 золотых диска, и когда закончат, наступит конец света. Это 2⁶⁴ − 1 ходов. Если делать один ход в секунду без перерывов, понадобится около 585 миллиардов лет. Вселенной сейчас около 14 миллиардов.
Зачем это знать
Удвоение кажется медленным в начале и взрывным в конце. Так растут вклады со сложными процентами, распространяются вирусы и новости в соцсетях. Степени двойки нужны в информатике: почему в килобайте 1024 байта. А правила действий со степенями собраны в статье «Степени и корни».
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.