Логарифмические уравнения: четыре типа
Если ты уже знаешь, что такое логарифм, уравнения с ним решаются по понятным схемам. Главное помнить, что под логарифмом может стоять только положительное число, а основание положительно и не равно единице.
Для учеников 10–11 классов.
Сначала ОДЗ
logₐ f(x): f(x) > 0, a > 0, a ≠ 1
Записывай эти условия до того, как решать. После решения каждый корень проверяй по ним. Корни, которые не подходят, называются посторонними, и их нужно выбросить.
Тип 1: по определению
logₐ f(x) = b ⇔ f(x) = aᵇ
Задача
Решите уравнение log₃(2x − 1) = 2.
По определению: 2x − 1 = 3² = 9.
2x = 10, x = 5.
Проверка: 2 · 5 − 1 = 9 > 0.
Ответ: x = 5.
Тип 2: одинаковые основания
logₐ f(x) = logₐ g(x) ⇔ f(x) = g(x), f(x) > 0
Задача
Решите уравнение log₂(x + 3) + log₂(x − 3) = 4.
ОДЗ: x + 3 > 0 и x − 3 > 0, то есть x > 3.
Сумма логарифмов: log₂((x + 3)(x − 3)) = 4.
(x + 3)(x − 3) = 2⁴ = 16, x² − 9 = 16, x² = 25.
x = 5 или x = −5. По ОДЗ подходит только 5.
Ответ: x = 5.
Тип 3: замена
Задача
Решите уравнение lg² x − lg x − 2 = 0.
ОДЗ: x > 0. Замена t = lg x.
t² − t − 2 = 0, t = 2 или t = −1.
lg x = 2, x = 100. lg x = −1, x = 0,1.
Ответ: x = 100 или x = 0,1.
Как решать получившиеся квадратные уравнения, в статье о дискриминанте и теореме Виета.
Тип 4: переменная в основании
Задача
Решите уравнение logₓ 16 = 2.
ОДЗ основания: x > 0, x ≠ 1.
По определению x² = 16, x = 4 или x = −4.
По ОДЗ подходит только 4.
Ответ: x = 4.
Частые ошибки
- Не записали ОДЗ и оставили посторонний корень.
- Решили, что log(a + b) = log a + log b. Так нельзя: сумма логарифмов равна логарифму произведения, а не суммы.
- Забыли, что основание меньше 1 тоже допустимо, просто в неравенствах оно меняет знак. Об этом в статье о логарифмических неравенствах.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Обязательно ли делать проверку?
Если ОДЗ записана и корни сверены с ней, отдельная подстановка не нужна. Если ОДЗ не записана, проверка обязательна.