Иррациональные уравнения: 15 решений
Иррациональное уравнение содержит переменную под знаком корня. Решают его возведением в квадрат, но у этого способа есть ловушка: появляются посторонние корни, которые исходному уравнению не подходят. Разбираем, откуда они берутся, как их отсеять и решаем пятнадцать уравнений.
Для 10–11 классов.
Откуда берутся лишние корни
Возведение в квадрат не равносильное преобразование. Уравнения a = b и a² = b² не одно и то же: второе выполняется ещё и при a = −b. Например, x = 3 имеет один корень, а x² = 9 уже два: 3 и −3.
Поэтому после возведения в квадрат нужно либо проверить все корни подстановкой, либо заранее записать условие, что правая часть неотрицательна. Для уравнения √f(x) = g(x) нужное условие g(x) ≥ 0: корень всегда неотрицателен, и правая часть тоже должна быть такой.
√f(x) = g(x) ⇔ f(x) = g(x)², g(x) ≥ 0
Простые уравнения
Задача
Решите: 1) √(x + 3) = 4; 2) √(x² − 9) = 4; 3) √x = −2; 4) ∛(x − 2) = 3; 5) √(2x + 5) = √(x + 8).
1) x + 3 = 16, x = 13.
2) x² − 9 = 16, x² = 25, x = ±5. Подкоренное выражение 16 > 0 при обоих.
3) Корень не бывает отрицательным: корней нет.
4) Кубический корень можно возводить в куб без ограничений: x − 2 = 27, x = 29.
5) 2x + 5 = x + 8, x = 3. Проверка: √11 = √11, подкоренные выражения положительны.
Ответ: 13; ±5; нет корней; 29; 3.
Переменная справа
Задача
Решите уравнение √(2x − 1) = x − 2.
Условие: x − 2 ≥ 0, то есть x ≥ 2.
Возводим в квадрат: 2x − 1 = x² − 4x + 4, x² − 6x + 5 = 0.
Корни 1 и 5. Условию x ≥ 2 удовлетворяет только 5.
Проверка x = 1: √1 = 1, а правая часть −1. Посторонний корень.
Ответ: 5.
Задача
Решите уравнение √(x + 7) = x + 1.
Условие x ≥ −1.
x + 7 = x² + 2x + 1, x² + x − 6 = 0, x = 2 или x = −3.
Подходит только 2.
Ответ: 2.
Задача
Решите уравнение √(5 − x) = x + 1.
Условие x ≥ −1.
5 − x = x² + 2x + 1, x² + 3x − 4 = 0, x = 1 или x = −4.
Подходит 1. Проверка: √4 = 2 = 1 + 1.
Ответ: 1.
Задача
Решите уравнение √(3x + 1) = x − 3.
Условие x ≥ 3.
3x + 1 = x² − 6x + 9, x² − 9x + 8 = 0, x = 1 или x = 8.
x = 1 не подходит. Проверка x = 8: √25 = 5 = 8 − 3.
Ответ: 8.
Во всех этих уравнениях один из корней квадратного уравнения оказался посторонним. Это не совпадение: составители задач специально подбирают числа так, чтобы проверить, не забудет ли ученик про условие.
Замена переменной
Задача
Решите уравнение x − 5√x + 6 = 0.
Замена t = √x, t ≥ 0. Тогда x = t².
t² − 5t + 6 = 0, t = 2 или t = 3, оба неотрицательные.
√x = 2 даёт x = 4, √x = 3 даёт x = 9.
Ответ: 4; 9.
Задача
Решите уравнение x² + √(x² + 2) = 4.
Замена t = √(x² + 2), t ≥ √2. Тогда x² = t² − 2.
t² − 2 + t = 4, t² + t − 6 = 0, t = 2 или t = −3.
t = −3 не подходит. √(x² + 2) = 2, x² = 2, x = ±√2.
Ответ: ±√2.
Два корня в уравнении
Задача
Решите уравнение √(x + 5) − √x = 1.
Область: x ≥ 0. Уединим один корень: √(x + 5) = 1 + √x.
Обе части неотрицательны, возводим в квадрат: x + 5 = 1 + 2√x + x.
4 = 2√x, √x = 2, x = 4.
Проверка: √9 − √4 = 3 − 2 = 1.
Ответ: 4.
Перед возведением в квадрат удобно уединить корень, то есть оставить его одного в одной части. Тогда после первого возведения корней становится меньше, а иногда, как здесь, остаётся простое уравнение.
Советы
- Перед возведением в квадрат записать условие на правую часть или запланировать проверку.
- Уединять корень перед возведением в квадрат.
- Не забывать область допустимых значений: подкоренное выражение неотрицательно.
- Проверять все корни подстановкой, если сомневаетесь. Это быстро и надёжно.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Нужно ли проверять, что подкоренное выражение неотрицательно?
Если уравнение вида √f(x) = g(x) и вы возвели в квадрат с условием g(x) ≥ 0, отдельно проверять f(x) ≥ 0 не нужно: f(x) = g(x)² и так неотрицательно.
Что делать, если после возведения в квадрат снова остался корень?
Уединить его и возвести в квадрат ещё раз. Каждое возведение может добавить посторонние корни, поэтому в конце обязательна проверка подстановкой.
Где такие уравнения на ЕГЭ?
В первой части в задании на уравнения встречаются простые иррациональные уравнения, а во второй части корень может оказаться внутри уравнения с отбором корней или неравенства.