Логические задачи: 12 задач с решениями
Логические задачи учат думать по шагам: предположить, проверить, найти противоречие. Это пригодится и в математике, и в информатике, и в жизни. Здесь двенадцать классических задач для 5–7 класса с подробными решениями. Попробуйте сначала решить сами, а потом сверьтесь.
Для 5–7 классов и семейных вечеров.
Рыцари и лжецы
На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Главный приём: предположить, что говорящий рыцарь, и проверить, нет ли противоречия. Если есть, значит, он лжец.
Задача
Житель A говорит: «Мы с B оба лжецы». Кто такие A и B?
Если A рыцарь, его слова правда, и он сам лжец. Противоречие.
Значит, A лжец, и его слова ложь: неверно, что оба лжецы.
A лжец, значит, B не может быть лжецом. B рыцарь.
Ответ: A лжец, B рыцарь.
Задача
A говорит: «B лжец». B говорит: «Мы с A одного типа». Кто есть кто?
Пусть B рыцарь. Тогда A тоже рыцарь, и его слова «B лжец» правда. Противоречие.
Значит, B лжец. Его слова ложны: A и B разного типа. A рыцарь.
Проверка: рыцарь A говорит «B лжец», это правда.
Ответ: A рыцарь, B лжец.
Переливания
Задача
Есть два бидона: на 3 литра и на 5 литров, и кран с водой. Как отмерить ровно 4 литра?
Наполнить пятилитровый бидон.
Перелить из него в трёхлитровый, пока тот не наполнится. В пятилитровом осталось 2 л.
Вылить трёхлитровый и перелить в него 2 л из пятилитрового.
Снова наполнить пятилитровый и долить из него трёхлитровый доверху: туда войдёт только 1 л.
В пятилитровом осталось 5 − 1 = 4 л.
Ответ: 4 литра в пятилитровом бидоне.
Переправа
Задача
Крестьянину нужно перевезти через реку волка, козу и капусту. В лодке помещается он и ещё что-то одно. Без крестьянина волк съест козу, а коза капусту. Как переправить всех?
Перевезти козу, вернуться одному.
Перевезти волка, а обратно забрать козу.
Перевезти капусту, оставив её с волком, вернуться одному.
Перевезти козу.
Ответ: семь переправ, ключевой ход: везти козу обратно.
Хитрость задачи в том, что иногда нужно вернуть уже перевезённое. В жизни так тоже бывает: шаг назад открывает путь вперёд.
Взвешивания
Задача
Из 9 одинаковых на вид монет одна фальшивая, она легче. Как найти её за два взвешивания на чашечных весах без гирь?
Разделить на три кучки по три. Положить две кучки на весы.
Если равновесие, фальшивая в третьей кучке. Если нет, в более лёгкой.
Из трёх подозрительных монет положить по одной на чаши. Равновесие значит, что фальшивая третья, иначе та, что легче.
Ответ: два взвешивания, если каждый раз делить на три группы.
Почему на три, а не пополам? У весов три исхода: левая легче, правая легче, равновесие. Каждое взвешивание сокращает число подозреваемых втрое. За три взвешивания так можно найти фальшивую монету среди 27.
Задачи из жизни
Задача
Отец старше сына на 30 лет, а через 5 лет будет старше в 3 раза. Сколько лет сыну сейчас?
Пусть сыну x лет. Через 5 лет сыну x + 5, отцу x + 35.
x + 35 = 3(x + 5), x + 35 = 3x + 15, 2x = 20.
Ответ: 10 лет.
Задача
Часы бьют 6 раз за 5 секунд. За сколько секунд они пробьют 12 раз?
Между шестью ударами пять промежутков, каждый 1 секунда.
Между двенадцатью ударами одиннадцать промежутков.
Ответ: 11 секунд, а не 10.
Задача
В ящике 10 чёрных и 10 белых носков. Сколько носков нужно достать в темноте, чтобы наверняка получилась пара одного цвета?
Два носка могут оказаться разными.
Третий обязательно совпадёт по цвету с одним из них.
Ответ: 3 носка.
Задача
Поезд длиной 300 м проезжает тоннель длиной 700 м за 50 секунд. Найдите скорость поезда.
Поезд въезжает головой и выезжает хвостом: проходит 300 + 700 = 1000 м.
1000 : 50 = 20 м/с.
Ответ: 20 м/с, или 72 км/ч.
Таблица соответствия
Задача
У Ани, Бори и Вики живут кошка, собака и рыбка, у каждого одно животное. У Ани не собака. У Бори не кошка и не собака. У кого кто?
У Бори не кошка и не собака: рыбка.
У Ани не собака, а рыбка уже у Бори: кошка.
Вике осталась собака.
Ответ: Аня кошка, Боря рыбка, Вика собака.
Задача
Три подруги, Маша, Оля и Катя, пришли в платьях разных цветов: красном, синем и зелёном. Маша не в красном и не в синем. Оля не в красном. Кто в каком платье?
Маша не в красном и не в синем: в зелёном.
Оля не в красном, а зелёное уже занято: в синем.
Кате осталось красное.
Ответ: Маша в зелёном, Оля в синем, Катя в красном.
В задачах посложнее удобно рисовать таблицу: строки люди, столбцы предметы, и ставить плюсы и минусы. Каждое условие вычёркивает клетки, и в конце в каждой строке остаётся один плюс.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Зачем решать логические задачи, если их нет в учебнике?
Они тренируют умение рассуждать по шагам и проверять себя, а это нужно в каждой теме математики и в информатике. Логические задачи есть на олимпиадах с 5 класса и в ОГЭ по информатике.
Что делать, если задача не решается?
Попробовать перебрать варианты на бумаге: таблицей, схемой, рисунком. Если через 20 минут не получилось, посмотреть первый шаг решения и попробовать дальше самому. Так задача всё равно останется вашей.