Олимпиадные задачи 5–6 класс: 12 решений
Олимпиадные задачи отличаются от школьных: для них не нужно много формул, нужна идея. В 5–6 классе таких идей немного: чётность, принцип Дирихле, поиск закономерности, обратный ход, перебор с умом. Разбираем каждую на задачах из школьного и муниципального этапа.
Для 5–6 классов, подготовка к школьному этапу олимпиады.
Чётность
Сумма двух чётных чисел чётна, двух нечётных тоже чётна, чётного и нечётного нечётна. Отсюда: сумма нечётного количества нечётных чисел нечётна, а чётного количества чётна.
Задача
Можно ли разменять 25 рублей десятью монетами по 1, 3 и 5 рублей?
Все монеты нечётного достоинства.
Сумма десяти нечётных чисел чётна.
А 25 нечётно. Противоречие.
Ответ: нельзя.
Красота таких задач в том, что не нужно перебирать варианты. Одно наблюдение о чётности сразу даёт ответ.
Задача
На доске написаны числа от 1 до 10. Разрешается стереть любые два числа и записать вместо них их сумму. Может ли в конце остаться число 54?
При каждом шаге общая сумма чисел на доске не меняется.
Сумма от 1 до 10 равна 55.
В конце останется одно число, и оно равно 55.
Ответ: нет, всегда остаётся 55.
Эта задача на другую олимпиадную идею, инвариант: величину, которая не меняется при любых разрешённых действиях. Найти инвариант значит сразу ответить на вопрос «может ли получиться».
Принцип Дирихле
Если рассадить в клетки кроликов, а кроликов больше, чем клеток, то в какой-то клетке окажется хотя бы два кролика. Так звучит принцип, названный в честь немецкого математика Петера Дирихле.
Задача
В классе 30 учеников. Докажите, что найдутся трое, родившихся в одном месяце.
Месяцы это клетки, их 12. Ученики это кролики.
Если бы в каждом месяце родилось не больше двух, всего было бы не больше 24 учеников.
Но учеников 30 > 24, значит, в каком-то месяце не меньше трёх.
Ответ: найдутся.
Задача про носки в темноте, которую мы разбирали в статье о логических задачах, тоже решается принципом Дирихле: два цвета это две клетки, и третий носок обязательно попадёт в занятую.
Поиск закономерности
Задача
Какой цифрой оканчивается число 2²⁰²⁶?
Посмотрим на последние цифры степеней двойки: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256. Цикл: 2, 4, 8, 6.
Длина цикла 4. 2026 при делении на 4 даёт остаток 2.
Вторая цифра цикла: 4.
Ответ: 4.
Задача
Найдите сумму 1 + 3 + 5 + … + 99.
Посмотрим на маленькие суммы: 1 = 1, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9. Это квадраты числа слагаемых.
Нечётных чисел от 1 до 99 ровно 50.
Сумма 50² = 2500.
Ответ: 2500.
Можно и как Гаусс: сложить первое с последним, 1 + 99 = 100, таких пар 25, итого 2500. История о маленьком Гауссе в статье о сумме от 1 до 100.
Числа и ребусы
Задача
В записи АБ + БА = 121 буквы обозначают ненулевые цифры. Сколько решений у ребуса?
АБ = 10А + Б, БА = 10Б + А. Сумма 11(А + Б) = 121, А + Б = 11.
А от 2 до 9, Б = 11 − А тоже от 2 до 9.
Ответ: 8 решений: 29 + 92, 38 + 83 и так далее.
Задача
Сколько существует двузначных чисел с суммой цифр 10?
19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91.
Ответ: 9.
Задача
Сколькими нулями оканчивается произведение 1 · 2 · 3 · … · 20?
Каждый ноль даёт пара множителей 2 и 5. Двоек много, считаем пятёрки.
Пятёрка есть в 5, 10, 15, 20: всего четыре.
Ответ: 4 нуля.
Задача
Расставьте числа от 1 до 9 в квадрате 3 × 3 так, чтобы суммы во всех строках, столбцах и диагоналях были равны.
Сумма всех чисел 45, строк три, значит, в каждой 15.
В центр ставим 5, по углам чётные числа.
Пример: 2 7 6 / 9 5 1 / 4 3 8.
Ответ: магический квадрат с суммой 15.
Обратный ход и движение
Задача
Задумали число, прибавили 5, умножили на 2, вычли 4 и получили 20. Какое число задумали?
Идём с конца, заменяя действия обратными: 20 + 4 = 24, 24 : 2 = 12, 12 − 5 = 7.
Ответ: 7.
Задача
Петя и Вася вышли навстречу друг другу из домов на расстоянии 1 км, со скоростями 4 и 6 км/ч. Собака Пети бегает между ними со скоростью 15 км/ч, пока они не встретятся. Сколько пробежит собака?
Ребята встретятся через 1 : (4 + 6) = 0,1 ч.
Всё это время собака бежит: 15 · 0,1 = 1,5 км.
Ответ: 1,5 км.
Задачу про собаку можно пытаться решать, складывая каждый отрезок её бега, и получить бесконечную сумму. Но если сменить взгляд и спросить «сколько времени она бегала», решение занимает две строки. Это и есть олимпиадная идея.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Как записывать решение олимпиадной задачи?
Коротко, но с объяснением каждого шага. Одного ответа мало: жюри ставит баллы за рассуждение. Если ответ «нельзя», нужно объяснить почему, как в задаче про монеты. Если «можно», привести пример и проверить его.
Как готовиться к школьному этапу олимпиады?
Решать задачи прошлых лет своего региона: они публикуются на сайтах олимпиад. Хватит одной-двух задач в день с разбором. Важнее понять идею, чем решить много.
Что делать, если ребёнок не решил ни одной задачи на олимпиаде?
Это нормально, особенно в первый раз. Олимпиадные задачи требуют другого мышления, и оно тренируется. Разберите задачи вместе после олимпиады, это самая ценная часть подготовки.