Планиметрия ЕГЭ: 15 задач первой части
Первое задание профильного ЕГЭ это планиметрия. Задачи короткие и почти всегда решаются одной теоремой: Пифагор, определение синуса, вписанный угол. Сложность в том, чтобы быстро узнать нужный факт. Собрали пятнадцать типовых задач по темам.
Для 10–11 классов.
Прямоугольный треугольник
В прямоугольном треугольнике синус острого угла это отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус прилежащего катета к гипотенузе, тангенс противолежащего катета к прилежащему.
Задача
В треугольнике ABC угол C прямой. 1) AB = 10, sin A = 0,6. Найдите BC. 2) AC = 8, cos A = 0,8. Найдите AB. 3) BC = 6, tg A = 3/4. Найдите AC. 4) AB = 13, AC = 12. Найдите sin A.
1) BC против угла A: BC = AB · sin A = 6.
2) AC прилежащий к A: AB = AC / cos A = 10.
3) tg A = BC/AC, AC = 6 : 3/4 = 8.
4) BC = √(169 − 144) = 5. sin A = 5/13.
Ответ: 6; 10; 8; 5/13.
Совет: сразу подпишите на чертеже, какой катет противолежащий, а какой прилежащий к нужному углу. Половина ошибок в этих задачах от того, что катеты перепутаны.
Углы в окружности
Задача
1) Вписанный угол опирается на дугу 100°. Найдите его. 2) Центральный угол 70°. Найдите вписанный угол, опирающийся на ту же дугу. 3) Вписанный угол опирается на диаметр. Найдите его. 4) Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, угол A равен 75°. Найдите угол C.
1) Половина дуги: 50°.
2) Вписанный вдвое меньше центрального: 35°.
3) Диаметр стягивает дугу 180°, вписанный угол 90°.
4) Во вписанном четырёхугольнике противоположные углы в сумме 180°: 105°.
Ответ: 50°; 35°; 90°; 105°.
Хорды и касательные
Задача
1) Радиус окружности 13, хорда 24. Найдите расстояние от центра до хорды. 2) Из точки, удалённой от центра окружности радиуса 5 на 13, проведена касательная. Найдите её длину. 3) Из точки проведены две касательные к окружности. Длина одной 7. Найдите длину другой.
1) Перпендикуляр из центра делит хорду пополам: 12. Расстояние √(169 − 144) = 5.
2) Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания: √(169 − 25) = 12.
3) Отрезки касательных из одной точки равны: 7.
Ответ: 5; 12; 7.
Вписанная и описанная окружности
Задача
1) Катеты прямоугольного треугольника 6 и 8. Найдите радиус описанной окружности. 2) Найдите радиус вписанной окружности того же треугольника. 3) Сторона равностороннего треугольника 6√3. Найдите радиус описанной окружности.
1) Центр описанной окружности прямоугольного треугольника в середине гипотенузы. Гипотенуза 10, радиус 5.
2) Для прямоугольного треугольника r = (a + b − c)/2 = (6 + 8 − 10)/2 = 2.
3) R = a/√3 = 6√3/√3 = 6.
Ответ: 5; 2; 6.
Формулу радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника легко вывести: отрезки касательных из вершины прямого угла равны r, и гипотенуза складывается из двух оставшихся отрезков. Полезно уметь вывести её самому, а не только помнить.
Трапеции и многоугольники
Задача
1) Основания равнобедренной трапеции 4 и 10, боковая сторона 5. Найдите высоту и площадь. 2) Найдите сумму углов выпуклого шестиугольника и угол правильного шестиугольника. 3) Один из углов параллелограмма 40°. Найдите остальные.
1) Проекция боковой стороны на основание (10 − 4)/2 = 3. Высота √(25 − 9) = 4. Площадь (4 + 10)/2 · 4 = 28.
2) Сумма углов n-угольника 180°(n − 2) = 720°. Правильный: 720° : 6 = 120°.
3) Противоположные углы равны, соседние в сумме 180°: 40°, 140°, 140°.
Ответ: 4 и 28; 720° и 120°; 40°, 140°, 140°.
Задача
1) Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 7,5. Найдите гипотенузу. 2) Площадь треугольника 12, две его стороны 6 и 8. Найдите синус угла между ними.
1) Медиана к гипотенузе равна её половине: гипотенуза 15.
2) S = ½ · 6 · 8 · sin γ = 24 sin γ = 12, sin γ = 0,5.
Ответ: 15; 0,5.
Формулы площадей всех фигур собраны в статье о площадях, а задачи, где нужна теорема Пифагора, в статье о теореме Пифагора.
Как решать быстро
- Нарисовать чертёж, даже если он дан, и отметить все данные.
- Спросить себя: какая фигура главная и какой факт про неё связывает данные с искомым?
- Если не видно прямого пути, достроить: провести высоту, радиус в точку касания, диагональ.
- Проверить ответ на правдоподобие: катет меньше гипотенузы, вписанный угол меньше 180°.
Хорошая тренировка: решать задачи первого номера сериями по десять на одну тему. Сначала все на синус и косинус, потом все на вписанные углы. Через неделю такой работы нужный факт начинает вспоминаться сам, как только видишь чертёж, и задача занимает пару минут.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Нужно ли оформлять решение в первой части?
Нет, в первой части записывается только ответ. Но краткие пометки на черновике помогают не ошибиться и вернуться к задаче при проверке.
Какие факты выучить в первую очередь?
Теорему Пифагора, определения синуса, косинуса и тангенса, сумму углов треугольника, свойства вписанного угла, касательной и хорды, формулы площадей. Это закрывает большую часть задач первого номера, а остальное добирается на сборниках задач по темам за две-три недели регулярной практики по полчаса в день.
Сколько времени тратить на планиметрию первой части?
Обычно 3–5 минут. Если задача не решается за 7–8 минут, лучше перейти к следующим и вернуться в конце.