Квадратные уравнения: дискриминант и теорема Виета

Что такое квадратное уравнение

ax² + bx + c = 0, a ≠ 0

Числа a, b и c называются коэффициентами. Перед решением уравнение нужно привести к такому виду: перенести всё в левую часть, раскрыть скобки, привести подобные. Многие ошибки появляются не в формуле, а здесь, когда при переносе забывают сменить знак.

Дискриминант и формула корней

D = b² − 4ac x = (−b ± √D) : 2a

• D > 0: два разных корня.
• D = 0: один корень, x = −b : 2a.
• D < 0: действительных корней нет.

Если D получился отрицательным, например у x² + x + 1 = 0 он равен 1 − 4 = −3, пишем, что корней нет. Это полноценный ответ, а не ошибка.

Теорема Виета

Для приведённого уравнения, где a = 1, сумма корней равна второму коэффициенту с обратным знаком, а произведение свободному члену.

x² + px + q = 0: x₁ + x₂ = −p, x₁ · x₂ = q

У уравнения x² − 7x + 12 = 0 ищем два числа с суммой 7 и произведением 12. Это 3 и 4, дискриминант не понадобился. Даже если корни нашли по формуле, проверка по Виету занимает пять секунд и ловит ошибки в знаках.

Для неприведённого уравнения теорема тоже работает: x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a. Для 2x² + 3x − 2 = 0 сумма −1,5 и произведение −1, а у наших корней −2 и 0,5 так и есть.

Если второй коэффициент чётный

Числа можно сделать меньше. Если b чётное, считаем четверть дискриминанта:

D/4 = (b/2)² − ac x = (−b/2 ± √(D/4)) : a

Неполные квадратные уравнения

Если b или c равны нулю, дискриминант не нужен, и так быстрее.

• c = 0: x² − 4x = 0. Выносим x: x(x − 4) = 0, корни 0 и 4.
• b = 0: x² − 9 = 0. x² = 9, корни 3 и −3. А у x² + 9 = 0 корней нет: квадрат не бывает отрицательным.
• b = 0 и c = 0: 5x² = 0, единственный корень 0.

Частая ошибка в уравнении x² = 9: записать только x = 3 и потерять отрицательный корень.

Частые вопросы