Теория вероятностей с нуля: задачи 4 и 5 ЕГЭ
Задачи на вероятность считаются самыми лёгкими баллами экзамена, и это правда, если знать пять идей. Разбираем их по порядку: от классической формулы до формулы полной вероятности, на задачах того же вида, что стоят в ЕГЭ и ОГЭ.
Для учеников 9–11 классов. Нумерация номеров по ЕГЭ 2027 года.
Классическая формула
P(A) = m / n
n это число всех равновозможных исходов, m число тех, что подходят под событие. Вероятность всегда от 0 до 1, на экзамене её пишут десятичной дробью.
Задача
В соревнованиях по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из Беларуси, остальные из Казахстана. Порядок выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что первой будет выступать спортсменка из Казахстана.
Из Казахстана 20 − 8 − 7 = 5 спортсменок.
P = 5 / 20 = 0,25.
Ответ: 0,25.
Монеты и кубики: выписываем все исходы
Когда исходов немного, их надёжнее выписать, чем угадывать. Монету бросают дважды. Исходы: ОО, ОР, РО, РР, всего 4. Ровно один орёл в двух из них, вероятность 2/4 = 0,5.
Частая ошибка: считать, что исходов три (два орла, один орёл, ноль орлов). Они не равновозможны: «один орёл» получается двумя способами.
Задача
Бросают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8. Ответ округлите до сотых.
Всего исходов 6 · 6 = 36.
Сумма 8: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2), всего 5 исходов.
P = 5/36 ≈ 0,138..., округляем до 0,14.
Ответ: 0,14.
Противоположное событие
Иногда проще посчитать, что событие не произойдёт, и вычесть из единицы.
P(не A) = 1 − P(A)
Если вероятность того, что ручка пишет плохо, 0,07, то вероятность, что пишет хорошо, 0,93. Особенно полезно в задачах со словами «хотя бы один»: вместо перебора всех вариантов считаем вероятность того, что не случилось ни разу.
Умножение и сложение вероятностей
Если события независимы и должны произойти вместе, вероятности умножают. Если события несовместны (не могут случиться одновременно) и нужно хотя бы одно из них, вероятности складывают.
Задача
Стрелок попадает в мишень с вероятностью 0,8. Он стреляет три раза. Найдите вероятность того, что он попадёт первые два раза, а в третий промахнётся.
Промах: 1 − 0,8 = 0,2.
Выстрелы независимы: 0,8 · 0,8 · 0,2 = 0,128.
Ответ: 0,128.
Задача
Тот же стрелок стреляет три раза. Найдите вероятность того, что он попадёт хотя бы один раз.
Противоположное событие: все три промаха, 0,2³ = 0,008.
P = 1 − 0,008 = 0,992.
Ответ: 0,992.
Формула полной вероятности
Нужна, когда результат зависит от того, по какому пути пошли события. Считаем вероятность каждого пути и складываем.
Задача
70 % батареек в магазине с первого завода, 30 % со второго. На первом заводе брак 2 %, на втором 5 %. Найдите вероятность того, что случайно купленная батарейка бракованная.
Путь через первый завод: 0,7 · 0,02 = 0,014.
Путь через второй: 0,3 · 0,05 = 0,015.
Складываем: 0,014 + 0,015 = 0,029.
Ответ: 0,029.
Задачи этого вида собраны в задачнике: простая вероятность и сложные события.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Как понять, умножать или складывать?
Союз «и» (произошло и то, и другое) обычно ведёт к умножению, союз «или» (хотя бы одно из несовместных) к сложению. Если сомневаетесь, выпишите исходы для маленького случая и проверьте.
Сколько баллов дают задачи на вероятность в ЕГЭ?
В профильном ЕГЭ 2027 года вероятности посвящены три номера первой части: простая вероятность, сложные события и случайные величины. Каждый стоит один первичный балл.