Площадь на клетчатой бумаге: формула Пика и достраивание
Задачи с фигурой на клетчатой бумаге есть и в школьных контрольных, и в ОГЭ. Обычно их решают формулами площади треугольника или трапеции, но если фигура кривая, удобнее два универсальных способа. Первый: достроить до прямоугольника. Второй: формула Пика, где нужно просто посчитать точки.
Для учеников 6–9 классов, пригодится на ОГЭ.
Способ первый: достроить до прямоугольника
Обводим фигуру прямоугольником по линиям сетки. Его площадь посчитать легко. Потом вычитаем лишние куски: обычно это прямоугольные треугольники, у которых катеты идут по линиям сетки, а площадь равна половине произведения катетов.
Задача
Треугольник с вершинами в узлах (1; 0), (4; 1) и (2; 3). Найдите его площадь, если сторона клетки 1.
Обводим прямоугольником от x = 1 до x = 4 и от y = 0 до y = 3. Это квадрат 3 × 3, площадь 9.
Лишние треугольники: между (1; 0) и (4; 1) катеты 3 и 1, площадь 1,5. Между (4; 1) и (2; 3) катеты 2 и 2, площадь 2. Между (2; 3) и (1; 0) катеты 1 и 3, площадь 1,5.
Площадь треугольника: 9 − 1,5 − 2 − 1,5 = 4.
Ответ: 4.
Способ второй: формула Пика
Работает для любого многоугольника, у которого все вершины стоят в узлах сетки, а стороны не пересекаются.
S = В + Г/2 − 1
В это число узлов строго внутри фигуры, Г число узлов на её границе, вершины тоже считаются. Проверим на прямоугольнике 3 × 2: внутри 2 узла, на границе 10. Площадь 2 + 5 − 1 = 6, как и должно быть.
Для треугольника из прошлой задачи: на границе 4 узла (три вершины и середина стороны от (4; 1) до (2; 3), точка (3; 2)), внутри 3. Площадь 3 + 4/2 − 1 = 4. Ответы сошлись.
Формулу Пика не обязательно знать для ОГЭ, но она хороша для проверки: два способа дали один ответ, значит, ошибки нет.
Как не ошибиться в подсчёте узлов
- Узлы на наклонной стороне есть не всегда. Если сторона идёт на 3 клетки вправо и на 1 вверх, промежуточных узлов нет. Если на 2 вправо и на 2 вверх, есть один посередине.
- Узел, через который сторона проходит точно, считается граничным, а не внутренним.
- Считайте внутренние узлы по строкам, вычёркивая карандашом. Так не пропустите и не посчитаете дважды.
Когда проще обычные формулы
Если у треугольника одна сторона идёт по линии сетки, достаточно формулы S = a · h / 2: основание и высоту видно по клеткам. Для трапеции с основаниями по линиям сетки берём полусумму оснований на высоту.
| Фигура | Формула площади |
|---|---|
| Треугольник | S = a · h / 2 |
| Параллелограмм | S = a · h |
| Трапеция | S = (a + b) / 2 · h |
| Ромб | S = d₁ · d₂ / 2 |
| Круг | S = πr² |
Если основание наклонное, высоту по клеткам найти трудно. Тогда переходим к достраиванию или к формуле Пика.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Можно ли писать формулу Пика в решении на экзамене?
В первой части ОГЭ записывается только ответ, поэтому способ не важен. В развёрнутом решении лучше опираться на школьные формулы, а Пика использовать для проверки.
Что делать, если сторона клетки не 1?
Посчитать площадь в клетках, а потом умножить на площадь одной клетки. Если сторона клетки 2 см, клетка занимает 4 см².