Лента Мёбиуса: поверхность с одной стороной
Лента Мёбиуса самый простой способ потрогать руками настоящую загадку математики. Её склеивают за минуту, а потом можно полчаса удивляться: муравей, ползущий по ней, обойдёт обе «стороны», ни разу не переползая через край. Делаем ленту и проводим опыты.
Для 4–11 классов. Нужны бумага, ножницы, скотч и карандаш.
Как склеить
- Вырежьте полоску бумаги шириной 3–4 см и длиной 25–30 см.
- Возьмите концы в руки, как будто хотите склеить обычное кольцо.
- Перекрутите один конец на пол-оборота.
- Склейте концы скотчем.
Теперь поставьте карандаш на середину ленты и ведите линию, не отрывая. Линия вернётся в начало, пройдя по «обеим» сторонам. Значит, сторона одна. Проведите пальцем по краю: край тоже окажется один.
Опыты с ножницами
| Что делаем | Что получается |
|---|---|
| Обычное кольцо режем посередине | два кольца, как и ожидалось |
| Ленту Мёбиуса режем посередине | одна лента вдвое длиннее, перекрученная на два полных оборота; у неё уже две стороны |
| Ленту Мёбиуса режем на трети ширины | две сцепленные ленты: одна Мёбиуса той же длины и одна вдвое длиннее |
| Склеиваем с полным оборотом и режем посередине | два сцепленных кольца |
Попробуйте сначала угадать результат, а потом проверить. Почти никто не угадывает с первого раза.
Кто открыл
Ленту независимо друг от друга описали в 1858 году два немецких математика, Август Фердинанд Мёбиус и Иоганн Бенедикт Листинг. Название досталось Мёбиусу. Лента стала одним из первых объектов топологии, науки о свойствах фигур, которые не меняются при растягивании и изгибании без разрывов.
Для топологии кружка и бублик разные, а чашка с ручкой и бублик одинаковые: у обоих одна дырка. А лента Мёбиуса отличается от обычного кольца, хотя сделаны они из одинаковых полосок: их нельзя превратить друг в друга без разреза.
Где встречается
- Значок переработки из трёх стрелок нарисован как лента Мёбиуса.
- Конвейерные ленты и ремни делали перекрученными, чтобы они изнашивались равномерно с обеих «сторон».
- Ленты для старых матричных принтеров и магнитофонов иногда склеивали так же, чтобы они служили вдвое дольше.
- Художник Мауриц Эшер нарисовал по ленте Мёбиуса бегущих муравьёв.
- Есть скульптуры, скамейки и даже здания в форме ленты.
Если склеить две ленты Мёбиуса по краю, получится бутылка Клейна: замкнутая поверхность без внутренней и внешней стороны. В нашем трёхмерном пространстве её можно сделать только с самопересечением, как стеклянную бутылку, горлышко которой проходит сквозь стенку.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Зачем это математикам?
Топология помогает в физике, химии больших молекул, анализе данных и робототехнике. Лента Мёбиуса простой пример того, что поверхности бывают неориентируемыми, и это свойство важно для многих расчётов.
А можно связать шарф Мёбиуса?
Можно, такие шарфы-снуды продаются и вяжутся по схемам. Носить его можно как обычный.