Парадоксы Зенона: догонит ли Ахиллес черепаху
Две с половиной тысячи лет назад греческий философ Зенон придумал несколько коротких рассуждений, которые доказывали, что движение невозможно. Все видели, что люди ходят, а стрелы летят. Но объяснить, где в рассуждении ошибка, долго не получалось. Ответ дала математика бесконечных сумм.
Для 6–11 классов. Нужны дроби, для старших пригодится формула геометрической прогрессии.
Ахиллес и черепаха
Ахиллес, самый быстрый бегун Греции, соревнуется с черепахой и даёт ей фору 100 метров. Пока он пробегает эти 100 метров, черепаха проползает ещё 10. Пока он пробегает 10, черепаха ещё 1. Пока он пробегает 1 метр, черепаха 10 сантиметров. И так без конца. Каждый раз, когда Ахиллес добегает до места, где была черепаха, она уже чуть впереди. Значит, он никогда её не догонит?
Дихотомия и стрела
Дихотомия: чтобы дойти до двери, нужно сначала пройти половину пути. Потом половину оставшегося. Потом половину оставшейся половины. Таких отрезков бесконечно много, а пройти бесконечно много отрезков за конечное время, казалось бы, нельзя.
Стрела: в каждый отдельный момент летящая стрела занимает определённое место и, значит, покоится. Время состоит из моментов. Если в каждый момент стрела покоится, когда же она движется?
Где ошибка
Ключевая ошибка в том, что бесконечное число отрезков не обязательно складывается в бесконечное расстояние или бесконечное время. Отрезки становятся всё меньше, и их сумма может быть конечной.
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = 1
Это легко увидеть на квадрате: закрасьте половину, потом половину оставшегося, потом ещё половину. Закрашенная часть приближается к целому квадрату, но никогда его не превышает. Математики говорят, что сумма ряда равна пределу, к которому стремятся частичные суммы. Строго это определили только в XIX веке.
Задача
Ахиллес бежит со скоростью 10 м/с, черепаха ползёт 1 м/с, фора 100 м. Где и когда Ахиллес догонит черепаху?
Способ Зенона: 100 + 10 + 1 + 0,1 + … = 111,111… м.
Это геометрическая прогрессия с первым членом 100 и знаменателем 1/10: S = 100 / (1 − 1/10) = 1000/9 ≈ 111,1 м.
Проверка обычным способом: Ахиллес приближается со скоростью 10 − 1 = 9 м/с, значит догонит за 100/9 ≈ 11,1 с и пробежит за это время 10 · 100/9 = 1000/9 м.
Ответ: Через 11,1 секунды, на отметке 111,1 метра. Бесконечно много шагов Зенона уложились в конечное время.
Зачем это сейчас
Парадоксы Зенона подтолкнули математиков к понятиям предела, бесконечного ряда и непрерывности. На них стоит математический анализ, без которого нет физики, инженерии и программирования. Парадокс стрелы связан с понятием мгновенной скорости: в физике это производная координаты по времени, её проходят в 10–11 классе.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
А бывают бесконечные суммы, которые не равны конечному числу?
Да. Например, 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + … растёт бесконечно, хотя слагаемые уменьшаются. Это гармонический ряд, и его рост очень медленный.
Кто такой Зенон?
Зенон Элейский, греческий философ V века до нашей эры, ученик Парменида. Его тексты не сохранились, о парадоксах мы знаем из пересказа Аристотеля.