Как складывать дроби с разными знаменателями
Дроби с разными знаменателями нельзя складывать сразу, как нельзя сложить 2 метра и 3 сантиметра, не переведя их в одни единицы. Показываем, как привести дроби к общему знаменателю, как найти его быстро и где ошибаются чаще всего.
Для учеников 5–6 классов и родителей.
Почему нельзя сложить числители и знаменатели
Самая частая ошибка выглядит так: 1/2 + 1/3 = 2/5. Проверим здравым смыслом. Половина пиццы плюс ещё кусок не может быть меньше половины, а 2/5 меньше половины. Значит, ответ неверный.
Знаменатель показывает, на сколько частей разрезано целое. Половины и трети это куски разного размера, и считать их вместе можно только тогда, когда мы разрежем всё на одинаковые куски. Для половины и трети подходят шестые доли: 1/2 = 3/6, 1/3 = 2/6.
1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6
Правило сложения дробей с разными знаменателями
- Найти общий знаменатель: число, которое делится на оба знаменателя. Удобнее всего наименьшее общее кратное.
- Для каждой дроби найти дополнительный множитель: во сколько раз общий знаменатель больше её знаменателя.
- Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её множитель.
- Сложить или вычесть числители, знаменатель оставить общим.
- Сократить результат и, если дробь неправильная, выделить целую часть.
Задача
Вычислите 5/6 + 3/8.
Общий знаменатель для 6 и 8: выписываем кратные восьми 8, 16, 24. Число 24 делится на 6, берём его.
Дополнительный множитель у первой дроби 24 : 6 = 4, у второй 24 : 8 = 3.
5/6 = 20/24, 3/8 = 9/24. Складываем: 20/24 + 9/24 = 29/24.
Дробь неправильная, выделяем целую часть: 29/24 = 1 5/24.
Ответ: 1 5/24.
Как быстро найти общий знаменатель
Есть три случая, и в каждом свой короткий путь.
- Один знаменатель делится на другой. Для 3/4 и 5/12 общий знаменатель 12, вторую дробь не трогаем.
- Знаменатели не имеют общих делителей. Для 2/5 и 1/7 общий знаменатель просто произведение: 35.
- Общие делители есть. Для 12 и 18 перебираем кратные большего: 18, 36. Число 36 делится на 12, это и есть наименьший общий знаменатель.
Можно всегда брать произведение знаменателей, это не ошибка. Но числа выйдут крупнее, и в конце придётся сокращать.
Вычитание дробей
Всё то же самое, только числители вычитаем.
Задача
Вычислите 7/12 − 1/4.
12 делится на 4, общий знаменатель 12.
1/4 = 3/12. Тогда 7/12 − 3/12 = 4/12.
Сокращаем на 4: 4/12 = 1/3.
Ответ: 1/3.
Смешанные числа
Целые части складываем отдельно, дробные отдельно. Если дробная часть получилась больше единицы, переносим единицу в целую часть.
Задача
Вычислите 2 1/3 + 1 3/4.
Целые: 2 + 1 = 3.
Дробные: 1/3 + 3/4 = 4/12 + 9/12 = 13/12 = 1 1/12.
Итог: 3 + 1 1/12 = 4 1/12.
Ответ: 4 1/12.
При вычитании, если дробная часть уменьшаемого меньше, занимаем единицу из целой части: 5 1/4 − 2 3/4 = 4 5/4 − 2 3/4 = 2 2/4 = 2 1/2.
Типичные ошибки и как их ловить
- Сложили знаменатели. Проверяйте ответ на здравый смысл: сумма двух положительных дробей больше каждой из них.
- Умножили на дополнительный множитель только знаменатель. Дробь от этого меняет значение: 1/3 и 1/12 это разные числа.
- Забыли сократить. В контрольной за несокращённую дробь часто снимают балл.
- Перепутали множители у дробей. Подпишите каждый множитель над дробью, как это делают в учебнике, пока рука не привыкнет.
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Какой знаменатель брать, если не получается найти наименьший?
Произведение знаменателей подходит всегда. Ответ будет верным, просто его придётся сократить в конце.
Как объяснить ребёнку дроби на пальцах?
Лучше всего работают предметы, которые режут на части: пицца, шоколадка, лента. Попросите сложить половину шоколадки и треть: ребёнок сам увидит, что куски разные и их надо мельче нарезать.