Задачи на движение: навстречу, вдогонку и по реке
Все задачи на движение держатся на одной формуле: путь равен скорости, умноженной на время. Остальное это три идеи: как складываются скорости, когда объекты едут навстречу или вдогонку, и как течение реки помогает или мешает лодке. Разбираем каждую на примере.
Для учеников 5–11 классов. Последняя задача в формате ЕГЭ.
Главная формула и таблица
S = v · t v = S : t t = S : v
Перед решением полезно нарисовать таблицу: строка на каждый объект, колонки скорость, время и путь. В одну клетку ставим неизвестное, остальные выражаем через него. Половина задачи решается уже на этом шаге.
Следите за единицами. Если скорость в километрах в час, а время в минутах, переведите минуты в часы: 20 минут это 1/3 часа, а не 0,2.
Движение вдогонку
Когда один догоняет другого, расстояние между ними сокращается на разность скоростей. Если догоняющий вышел позже, у первого есть фора: путь, который он успел пройти.
Задача
Пешеход вышел из деревни со скоростью 5 км/ч. Через 2 часа за ним выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Через сколько часов велосипедист догонит пешехода?
За 2 часа пешеход ушёл на 5 · 2 = 10 км. Это фора.
Скорость сближения: 15 − 5 = 10 км/ч.
Время: 10 : 10 = 1 ч.
Ответ: через 1 час после выезда.
Движение по реке
Течение несёт лодку. По течению её скорость равна собственной скорости плюс скорость течения, против течения собственной минус скорость течения. У плота собственной скорости нет, он плывёт со скоростью течения.
v по течению = v + vₜ v против течения = v − vₜ
Задача
Моторная лодка прошла 36 км по течению реки и вернулась обратно, затратив на весь путь 5 часов. Скорость течения 3 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.
Пусть собственная скорость v км/ч. Тогда время туда 36/(v + 3), обратно 36/(v − 3).
Составляем уравнение: 36/(v + 3) + 36/(v − 3) = 5.
Умножаем на (v + 3)(v − 3): 36(v − 3) + 36(v + 3) = 5(v² − 9), откуда 72v = 5v² − 45, то есть 5v² − 72v − 45 = 0.
Дискриминант: 72² + 4 · 5 · 45 = 5 184 + 900 = 6 084 = 78². Корни: (72 + 78) : 10 = 15 и (72 − 78) : 10 = −0,6. Отрицательная скорость не подходит.
Проверка: туда 36 : 18 = 2 ч, обратно 36 : 12 = 3 ч, всего 5 ч.
Ответ: 15 км/ч.
Такие задачи стоят в ЕГЭ по профильной математике в номере с текстовыми задачами. Как решать получившееся квадратное уравнение, мы разобрали в статье о дискриминанте и теореме Виета.
Средняя скорость: где ошибаются почти все
Машина ехала до дачи со скоростью 60 км/ч, а обратно 40 км/ч. Средняя скорость не 50. Средняя скорость это весь путь, делённый на всё время.
Пусть до дачи 120 км. Туда машина ехала 2 часа, обратно 3 часа. Весь путь 240 км, всё время 5 часов, средняя скорость 240 : 5 = 48 км/ч. Медленный участок длился дольше, поэтому он сильнее тянет среднюю вниз.
v ср = (S₁ + S₂) : (t₁ + t₂)
Разберём на занятии
Разберём эту тему и всё, что с ней связано, на живом занятии: преподаватель видит, как ребёнок решает, и поправляет на первом неверном шаге.
Первое занятие бесплатное: можно посмотреть формат вместе с ребёнком и решить, подходит ли он.
Частые вопросы
Как понять, складывать скорости или вычитать?
Представьте, что вы сидите на одном объекте и смотрите на другой. Если он приближается навстречу, расстояние тает быстрее, скорости складываются. Если вы его догоняете, расстояние уменьшается только за счёт того, что вы быстрее, скорости вычитаются.
Что делать, если в задаче нет чисел для времени?
Обозначить неизвестное буквой, обычно скорость или время, и выразить через него всё остальное в таблице. Уравнение получится из условия, которое связывает строки: общее время, одинаковый путь или встреча в одной точке.